Тогда
0 115
f (x0) :=
= lim
x→0
|
|
|
f(x0, x) |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
| − |
| |
|
| |
= |
|
|
= |
| |
|
|
|
|
|
loga |
x0 |
+ x |
|
loga |
x0 |
|
|
|
0 |
|
(5.5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
loga |
1 + |
xx |
|
0 |
3.20.2.2 |
|
|
|
0 |
= |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
→ |
0 |
|
x |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
loga e 10.10 |
|
|
|
loga 1 + |
x0 |
|
|
1 |
|
= lim |
x |
|
|
|
= |
|
= |
|
. |
x→0 |
· x0 |
|
|
x0 |
x0 ln a |
x0 |
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Частный случай
x R \ {0} : (ln |x|)0 = x1.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 91. Показать, по определению 115, что
x R : (sin x)0 = cos x.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Решение. Фиксируем произвольную точку x0 dom sin = R. Тогда
0 115
sin (x0) :=
= lim
x→0
|
Δsin (x0, x) |
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
0 |
|
sin (x0 + |
x) |
− |
sin x0 |
10.23 |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 cos |
x0 + |
|
x |
sin |
x |
|
|
0 |
3.20.1.1 |
= lim |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
→ |
0 |
|
|
x |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x sin |
x |
66 и F |
= lim |
|
cos x0 + |
|
|
|
2 |
= cos x0. |
|
|
|
x |
x |
|
0 |
|
2 |
|
|
|
→ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 92. Показать, по определению 115, что
x R : (cos x)0 = − sin x.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Решение. Фиксируем произвольную точку x0 dom cos = R. Тогда
0 115
cos (x0) :=
= lim
x→0
|
Δcos (x0, x) |
|
|
|
|
lim |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
0 |
|
cos (x0 + x) |
− |
cos x0 |
10.24 |
|
|
|
|
|
= |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 sin |
x0 |
+ |
x |
sin |
x |
|
|
0 |
3.20.1.1 |
= lim |
2 |
2 |
|
− |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
→ |
0 |
|
|
x |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x sin |
x |
66 и F |
|
= |
lim |
|
sin x0 + |
|
|
|
2 |
= sin x0. |
|
|
|
x |
− |
x |
|
0 |
|
2 |
|
|
|
− |
→ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
5.2.1. Касательная к кривой.
Пусть k = 2 или 3 и точка M Rk фиксирова-
ны. Пусть, далее, задана последовательность (Mn) , Mn Rk \ {M} сходящееся к M Rk.
Обозначим через MMn прямую,проходящую
через точки M и Mn. |
S |
Определение 116. Если существует |
прямая |
MT , проходящая через точки M и T , угол |
между которой и прямыми MMn стремится к нулю, то прямая MT называется предельным
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пусть теперь M - некоторая точка кривой L. Возьмём на этой кривой любую другую точку N, отличную от точки M.
Определение 117. Прямая, проходящая через точки M, N L, M 6= N, называется секущей по отношению к кривой L.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 118. Если существует прямая MT , являющаяся предельным положением секущих MMn для каждой последовательности точек (Mn) , Mn L, сходящейся к точке M L, то прямая MT называется касатель-
ной к кривой L в точке M L. |
S |
|
|
КАСАТЕЛЬНАЯ |
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Замечание. Следует иметь в виду, что не в каждой точке M кривой существует касатель-
ная. Такой случай изображён на рис. 5.3. S Прямая MT является предельным положением секущих MMn, а прямая MT является предельным положением секущих MMn. В
точке M L касательную к кривой L провести нельзя.
Д Касательная к кривой.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
