Найти точки разрыва функции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ИНСТРУМЕНТ |
|
ИНСТРУМЕНТ |
f(x) = |
axn + b |
|
|
f(x) = |
|sin (axn + b)| |
cxm + d |
|
|
|
|
|
|
cxm + d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти точки разрыва функции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ТРЕНАЖЁР |
|
|
|
|
ТРЕНАЖЁР |
sin (axn + b) |
|
|
|
sin (axn + b) |
f(x) = |
|
|
|
|
f(x) = |
|
|
|
cxm + d |
|
px2 + qx + c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Найти точки разрыва функции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ТРЕНАЖЁР |
|
|
|
|
ТРЕНАЖЁР |
|
|
f(x) = |
axn + b |
|
|
f(x) = |
|axn + b| |
|
|cxm + d| |
|
|
|
|
|
|
cxm + d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти точки разрыва функции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ТРЕНАЖЁР |
|
|
|
|
ТРЕНАЖЁР |
|
|
sin (axn + b) |
|
|
sin (axn + b) |
f(x) = |
|
|
|
|
f(x) = |
|
|
|
|cxm + d| |
|
|px2 + qx + c| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Найти точки разрыва функции:
ТРЕНАЖЁР
c f(x) = eaxn+b
Найти точки разрыва функции: ТРЕНАЖЁР
f(x) = arctg
c
axn + b
ТРЕНАЖЁР
f(x) =
|sin (axn + b)|
px2 + qx + c
ТРЕНАЖЁР
f(x) =
|arcsin (axn + b)|
px2 + qx + c
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Глава 5
Дифференциальное исчисление функций одной переменной
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
5.1. Дифференцируемость и дифференциал функции.
Пусть задана f : A → R, A R и x0 A предельная точка множества A. Дадим аргумен-
ту x приращение |
x так чтобы x0 + x A. |
Обозначим f(x0, |
x) := f(x0 + x) − f(x0) |
и будем называть приращением функции f в точке x0, вызванное приращением аргумен-
та x.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 112. Функция f : A → R называется дифференцируемой в точке x0 A, предельной для множества A, если существует линейная относительно приращения аргумента функция a · x такая, что приращение
f(x0, x) функции f можно представить в виде
f(x0, x) = a· x+o(Δx) при x → 0. (5.1)
Линейная функция a · x называется дифференциалом функции f в точке x0 A и обозначается df(x0).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Замечание 1. Функция f дифференцируема в точке x0 A, если изменение её значений в окрестности исследуемой точки линейно с точностью до поправки бесконечно малой по сравнению с величиной x смещения от точки x0.
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ 
Этот микроскоп дифференцирования позволяет Вам графически проверить дифференцируемость функции в точке x0.
Движком "x0" выберите любую точку x0 на графике функции f. Если при увеличении движком "zoom" Вы видите, что в окрестности точки x0 график функции f походит на прямую, то функция f дифференцируема в точке x0, иначе функция f не является дифференцируемой в этой точке.
Вы можете визуально найти точки в которых функция
f(x) = |x2 + x| дифференцируема, а также точки в которых она не является дифференцируемой.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Соотношение (5.1) можно переписать в эквивалентной форме
f(x0, x) |
= a + α(Δx), где α(Δx) → 0 |
x |
|
при x → 0. |
|
(5.2) |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 113. Если существует конечный предел отношения приращения функции f в точке x0 A, предельной для множества A, вызванного приращением аргумента x, к приращению аргумента x при стремлении приращения аргумента к нулю, то он называется производной функции f в точке x0 и
обозначается f0(x0) или dfdx(x0).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Итак, по определению 113,
f |
0(x |
) := |
lim |
|
f(x0, |
x) |
R |
. |
0 |
x |
|
|
|
0 |
|
x |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
