Пример 85 Найти точки разрыва функции
sin (x−1)
3 ,
3x −3
f(x) =
x3−1
,
x2−1
Определить тип точек разрыва функции. Решение.
Шаг 1. Функция f – кусочно - элементарная функция, определённая на множестве R \ {1}. В силу теоремы 66 о непрерывности элементарных функций, функция f непрерывна на интервалах (−∞, 1) и (1, ∞) элементарности функции f. Найдите конечные предельные точки области определения функции f не принадлежащие этому множеству.
Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 85 Найти точки разрыва функции
sin (x−1)
3 ,
3x −3
f(x) =
x3−1
,
x2−1
Определить тип точек разрыва функции. Решение.
Шаг 1. x0 = 1.
Единственной конечной предельной точкой множества (−∞, 1) (1, ∞), не принадлежащей этому множеству, является точка x0 = 1. По определению 108 эта точка является единственной точкой разрыва функции f.
Шаг 2. Определите тип точки разрыва x0 = 1 функции f. Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 85 Найти точки разрыва функции
sin (x−1)
3 ,
3x −3
f(x) =
x3−1
,
x2−1
Определите тип точек разрыва функции. Решение.
Шаг 1. x0 = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Шаг 2. Точка x0 = 1 есть точка разрыва 1-го рода функции f. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдём односторонние пределы: |
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
sin (x−1) |
3.20.1.1 |
|
sin (x−1) |
1 |
|
|
1 |
и |
|
− |
1 |
3.19.4.1 |
lim |
|
= |
lim |
|
|
|
|
= |
|
lim |
|
|
= |
3x3−3 2 |
x−1 · |
|
|
|
|
|
x→1−0 |
|
|
x→1−0 |
3(x2+x+1) |
|
9 |
|
x→1+0 x2 |
−1 |
|
lim |
(x−1)(x |
+x+1) |
= |
3. Следовательно, по определению 109, точка |
x→1+0 |
(x−1)(x+1) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 = 1 есть точка разрыва 1-го рода функции f. |
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Посмотрите график функции
sin (x−1)
3 ,
3x −3
f(x) =
x3−1
,
x2−1
Изменение значений параметра a имитирует стремление x к единице справа. Изменение значений параметра b имитирует стремление x к единице слева.
(Для увеличения масштаба щёлкните левой кнопкой мыши в точке начала системы координат).
График функций
sin (x−1)
3 ,
3x −3
f(x) =
x3−1
,
x2−1
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 86. Найти точки разрыва функции
v |
|
|
2 |
π |
|
u |
|
|
|
|
|
f(x) = u |
sin |
|
|
|
. |
|
|
u− |
|
|
|
x |
u |
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
t
Определить тип точек разрыва функции.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 86 Найти точки разрыва функции
f(x) = v |
|
sin2 π |
. |
u |
|
x |
u− |
|
t |
|
|
|
|
Определить тип точек разрыва функции. Решение.
r
Шаг 1. Функция f(x) = − sin2 πx – элементарная функция и не указана область определения этой функции. Согласно соглашению о области определения элементарных функций (см. раздел
r
3.7), функция f(x) = − sin2 πx определена в естественной области определения – dom f. Причём, в силу теоремы 66 о непрерывности
r
элементарных функций, функция f(x) = − sin2 πx непрерывна на dom f.
Найдите dom f и перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 86 Найти точки разрыва функции
f(x) = v |
|
sin2 π |
. |
u |
|
x |
u− |
|
t |
|
|
|
|
Определить тип точек разрыва функции.
Решение.
Шаг 1. dom f = {xk = k1 , k = ±1, ±2, . . .}.
dom f = {x R | sin2 πx = 0} =
π 1
{x R | x = nπ, n Z} = {xn = n, n Z}.
Следовательно, dom f – множество изолированных точек.
Шаг 2. Найдите конечные предельные точки множества dom f = {xn = n1 , n Z} не принадлежащие этому множеству.
Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 86 Найти точки разрыва функции
f(x) = v |
|
sin2 π |
. |
u |
|
x |
u− |
|
t |
|
|
|
|
Определите тип точек разрыва функции.
Решение.
Шаг 1. dom f = {xn = n1 , n Z}. Шаг 2. x0 = 0.
Единственной конечной предельной точкой множества dom f = {xn = n1 , n Z} не принадлежащей этому множеству, является точка x0 = 0. По определению 108 эта точка является единствен-
|
|
|
|
|
|
ной точкой разрыва функции f(x) = r |
|
|
|
− sin2 |
πx. |
|
|
|
|
Шаг 3. Определите тип точки разрыва x0 |
= 0 функции f(x) = |
r |
− sin2 πx |
. |
|
|
Перейдите на следующую страницу. |
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 86 Найти точки разрыва функции
f(x) = v |
|
sin2 π |
. |
u |
|
x |
u− |
|
t |
|
|
|
|
Определите тип точек разрыва функции.
Решение.
Шаг 1. dom f = {xn = n1 , n Z}. Шаг 2. x0 = 0.
Шаг 3. Точка x0 = 0 есть точка устранимого разрыва функции
r
f(x) = − sin2 πx.
Так как (xn), xn domf : f(xn) = 0, то
lim f(xn) = 0,
xn→0
и, следовательно, по определению 111, точка x0 = 0 есть точка устранимого разрыва функции
r
f(x) = − sin2 πx.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
