1 x−1
1
x−1
1 x−1
Пример 83 Найти точки разрыва функции
1 f(x) = x − 1
Определить тип точек разрыва функции. Решение.
Шаг 1. Функция f(x) = – элементарная функция и не указана область определения этой функции. Согласно соглашению о области определения элементарных функций (см. раздел 3.7), функция f(x) = определена в естественной области определения – dom f. Причём, в силу теоремы 66 о непрерывности элементарных функций, функция f(x) = непрерывна на dom f.
Найдите dom f и перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 83 Найти точки разрыва функции
1 f(x) = x − 1
Определить тип точек разрыва функции. Решение.
Шаг 1. dom f = R \ {1}.
dom f = R \ {1}, так как только в тех точках R, где знаменатель в формуле, задающей функцию f, обращается в нуль, нельзя воспользоваться формулой для вычисления значения функции.
Шаг 2. Найдите конечные предельные точки множества dom f = R \ {1} не принадлежащие этому множеству.
Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 83 Найти точки разрыва функции
1 f(x) = x − 1
Определите тип точек разрыва функции. Решение.
Шаг 1. dom f = R \ {1}. Шаг 2. x0 = 1.
Единственной конечной предельной точкой множества dom f = R\{1} не принадлежащей этому множеству, является точка x0 = 1. По определению 108 эта точка является единственной точкой разрыва функции f(x) = x−1 1.
Шаг 3. Определите тип точки разрыва x0 = 1 функции f(x) = x−1 1. Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 83 Найти точки разрыва функции
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x) = |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 1 |
Определите тип точек разрыва функции. |
Решение. Шаг 1. dom f = R \ {1}. |
|
|
Шаг 2. x0 = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Шаг 3. Точка x0 |
= 1 есть |
точка разрыва 2-го рода функции |
f(x) = |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
x−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдём односторонние пределы: |
|
|
lim |
|
1 |
|
|
и |
lim |
1 |
|
= +∞. |
Следовательно, по определе- |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1−0 x−1 = −∞ |
|
x→1+0 x−1 |
|
|
нию 110, точка x0 |
= 1 есть точка разрыва 2-го рода функции |
f(x) = |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
x−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Изменение значений параметра a имитирует стремление x к еди-
нице.
Д График функций f(x) = x−1 1.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 84. Найти точки разрыва функции
Определить тип точек разрыва функции.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 84 Найти точки разрыва функции
1
f(x) = sin x .
Определить тип точек разрыва функции. Решение.
Шаг 1. Функция f(x) = sin x1 – элементарная функция и не указана область определения этой функции. Согласно соглашению о области определения элементарных функций (см. раздел 3.7),
функция f(x) = sin x1 определена в естественной области определения – dom f. Причём, в силу теоремы 66 о непрерывности эле-
ментарных функций, функция f(x) = sin x1 непрерывна на dom f. Найдите dom f и перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 84 Найти точки разрыва функции
1
f(x) = sin x .
Определить тип точек разрыва функции. Решение.
Шаг 1. dom f = R \ {0}.
dom sin = R. Следовательно, только в тех точках R, где знаменатель в формуле, задающей функцию f, обращается в нуль, нельзя воспользоваться формулой для вычисления значения функции.
Шаг 2. Найдите конечные предельные точки множества dom f = R \ {0} не принадлежащие этому множеству.
Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 84 Найти точки разрыва функции
1
f(x) = sin x .
Определите тип точек разрыва функции. Решение.
Шаг 1. dom f = R \ {0}. Шаг 2. x0 = 0.
Единственной конечной предельной точкой множества dom f = R\{0} не принадлежащей этому множеству, является точка x0 = 0. По определению 108 эта точка является единственной точкой раз-
рыва функции f(x) = sin x1 .
Шаг 3. Определите тип точки разрыва x0 = 0 функции f(x) =
sin x1 .
Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 84 Найти точки разрыва функции
1
f(x) = sin x .
Определите тип точек разрыва функции. Решение. Шаг 1. dom f = R \ {0}.
Шаг 2. x0 = 0.
Шаг 3. Точка x0 = 0 есть точка разрыва второго рода функции
|
f(x) = sin x1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Покажем, по определению Гейне, что |
x→0 |
x |
|
|
|
|
|
|
lim sin 1 |
не существует и, |
|
следовательно, по определению 110, точка x0 = 0 есть точка раз- |
|
рыва второго рода функции f(x) = sin x1 |
. |
|
|
|
|
|
|
Действительно, последовательности x |
= |
1 |
и x = |
2 |
|
сходят- |
|
nπ |
(1+4n)π |
|
ся к нулю, но f(x ) = sin (nπ) = 0 |
|
n |
|
|
|
n |
|
|
→ |
0, а f(x ) = sin ( |
π + 2nπ) = |
|
1 → 1. |
n |
|
|
|
|
n |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ТОЧКА РАЗРЫВА ВТОРОГО РОДА
Движком "zoom" изменяйте масштаб по оси абсцисс.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 85. Найти точки разрыва функции
sin (x−1)
, если x < 1,
3x3−3
f(x) =
x3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2− |
|
|
|
|
|
, |
если x > 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определить тип точек разрыва функции.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
