sin x
x
sin x
x
sin x x
Пример 81 Найти точки разрыва функции f(x) = sinxx
Определить тип точек разрыва функции. Решение.
Шаг 1. Функция f(x) = – элементарная функция и не указана область определения этой функции. Согласно соглашению о области определения элементарных функций (см. раздел 3.7), функция f(x) = определена в естественной области определения – dom f. Причём, в силу теоремы 66 о непрерывности элементарных функций, функция f(x) = непрерывна на dom f.
Найдите dom f и перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 81 Найти точки разрыва функции
f(x) = sinxx
Определить тип точек разрыва функции. Решение.
Шаг 1. dom f = R \ {0}.
dom sin = R. Следовательно, только в тех точках R, где знаменатель в формуле, задающей функцию f, обращается в нуль, нельзя воспользоваться формулой для вычисления значения функции.
Шаг 2. Найдите конечные предельные точки множества dom f = R \ {0} не принадлежащие этому множеству.
Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 81 Найти точки разрыва функции f(x) = sinxx
Определите тип точек разрыва функции. Решение.
Шаг 1. dom f = R \ {0}. Шаг 2. x0 = 0.
Единственной конечной предельной точкой множества dom f = R\{0} не принадлежащей этому множеству, является точка x0 = 0. По определению 108 эта точка является единственной точкой разрыва функции f(x) = sinx x.
Шаг 3. Определите тип точки разрыва x0 = 0 функции f(x) = sinx x. Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
sinx x.
Пример 81 Найти точки разрыва функции f(x) = sinxx
Определите тип точек разрыва функции. Решение. Шаг 1. dom f = R \ {0}.
Шаг 2. x0 = 0.
Шаг 3. Точка x0 = 0 есть точка устранимого разрыва функции f(x) =
В силу первого замечательного предела, lim sin x = 1, и, следова-
x→0 x
тельно, по определению 111, точка x0 = 0 есть точка устранимого разрыва функции f(x) = sinx x.
Изменение значений параметра a имитирует стремление x к нулю.
График функций f(x) = sinx x.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 82. Найти точки разрыва функции f(x) = arctg x1.
Определить тип точек разрыва функции.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 82 Найти точки разрыва функции
f(x) = arctg x1
Определить тип точек разрыва функции. Решение.
Шаг 1. Функция f(x) = arctg x1 – элементарная функция и не указана область определения этой функции. Согласно соглашению о области определения элементарных функций (см. раздел 3.7), функция f(x) = arctg x1 определена в естественной области определения – dom f. Причём, в силу теоремы 66 о непрерывности элементарных функций, функция f(x) = arctg x1 непрерывна на dom f. Найдите dom f и перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 82 Найти точки разрыва функции f(x) = arctg x1
Определить тип точек разрыва функции. Решение.
Шаг 1. dom f = R \ {0}.
Обозначим через ϕ(x) = x1 . Тогда f = arctg ◦ϕ и dom arctg = R, dom ϕ = R \ {0}. Следовательно, только в тех точках R, где знаменатель в формуле, задающей функцию f, обращается в нуль, нельзя воспользоваться формулой для вычисления значения функции.
Шаг 2. Найдите конечные предельные точки множества dom f = R \ {0} не принадлежащие этому множеству.
Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 82 Найти точки разрыва функции f(x) = arctg x1
Определите тип точек разрыва функции. Решение.
Шаг 1. dom f = R \ {0}. Шаг 2. x0 = 0.
Единственной конечной предельной точкой множества dom f = R\{0} не принадлежащей этому множеству, является точка x0 = 0. По определению 108 эта точка является единственной точкой разрыва функции f(x) = arctg x1 .
Шаг 3. Определите тип точки разрыва x0 = 0 функции f(x) = arctg x1 .
Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 82 Найти точки разрыва функции
f(x) = arctg x1
Определите тип точек разрыва функции. Решение. Шаг 1. dom f = R \ {0}.
Шаг 2. x0 = 0.
Шаг 3. Точка x0 = 0 есть точка разрыва 1-го рода (неустранимого) |
функции f(x) = arctg 1 . |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
Найдём односторонние пределы (см. раздел 3.2.12): |
lim |
1 = |
π и |
lim |
1 |
π |
Следовательно, по определе- |
x→0− arctg x |
−2 |
x→0+ arctg x = |
2 . |
|
нию 109, точка x0 = 0 есть точка разрыва 1-го рода (неустранимо- |
го) функции f(x) = arctg x1 .
Изменение значений параметра a имитирует стремление x к ну-
лю.
Д График функций f(x) = arctg x1 .
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 83. Найти точки разрыва функции
1
f(x) = x − 1.
Определить тип точек разрыва функции.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
