mathanaliz

4.7.2. Непрерывность обратной функции.

Теорема 68. Пусть функция f есть вещественная функция, строго монотонная и непрерывная на отрезке [a, b]. Тогда обратная функция f−1 строго монотонна и непрерывна на отрезке [c, d] = f([a, b]).

Доказательство теоремы опустим.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

4.7.3. Точки разрыва функции. Классификация точек разрыва.

Теорема 69. Пусть f - вещественная функция, определенная на отрезке [a, b] R, и x0 (a, b) внутренняя точка множества

[a, b].

Тогда для того, чтобы f была непрерывна в точке x0, необходимо и достаточно выполнение трех условий:

1. Существует левосторонний предел lim f(x),

x→x−0

2. Существует правосторонний предел lim f(x),

x→x+0

3. Оба односторонних предела равны f(x0).

Эта теорема является следствием теоремы 52

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Определение 108. Пусть функция

f: A → B, A, B R

иA0 - предельные точки множества A. Конечная точка x0 A0 называется точкой разрыва функции f, если:

1. Функция не определена в точке x0, или

2. Функция определена в точке x0, но не является непрерывной в точке x0.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

в точке определено только для точек из области определения функции. К точкам разрыва функции одной переменной относят также конечные предельные точки области определения функции, в которых значения функции не заданы .

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Определение 109. Пусть x0 - точка разрыва функции f : A → B, A, B R. Если существуют конечные односторонние пределы

lim f(x), lim f(x),

x→x0−0 x→x0+0

то x0 называется точкой разрыва первого ро-

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Определение 110. Пусть x0 - точка разрыва функции f : A → B, A, B R. Если хотя бы один из односторонних пределов

lim f(x), lim f(x),

x→x0−0 x→x0+0

не существует или равен ∞ (+∞, −∞), то x0

называется точкой разрыва второго рода. S

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Определение 111. Пусть x0 - точка разрыва функции f : A → B, A, B R. Если существуют конечные односторонние пределы

то x0 называется точкой устранимого раз-

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Таким образом, точка устранимого разрыва характеризуется тем, что существует предел

lim f(x) = a R, но a 6= f(x0) или f(x0)

x→x0

неопределенно и достаточно положить

как мы получим непрерывную в точке x0 функцию g : A → R.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Замечание 1. Если x0 - точка разрыва функции, то x0 - предельная точка множества A. Однако может случится, что существует Uµ(x0) такая, что все точки множества A∩Uµ(x0) лежат по одну сторону от точки x0. В этом случае рассматривается для каждого определения 109, 110, 111 только один из указанных в них односторонних пределов.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пример 81. Найти точки разрыва функции f(x) = sinxx.

Определить тип точек разрыва функции.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit