Определение 105. Множество A Rk называется связным, если для любой пары его точек существует кривая Ã ([a, b]) A с концами в этих точках.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 106. Областью в пространстве Rk называется открытое, связное множество.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Теорема 65. Если функция f : A → R, A Rk, непрерывная в области A, принимает в точках x1, x2 A значения разных знаков, то существует точка x3 A такая, что f(x3) = 0.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство. Пусть Ã : [α, β] → A —
непрерывная параметризация кривой с началом в точке x1 = Ã(α) и концом в точке x2 = Ã(β). В силу связности A такая кривая существует. Функция f ◦ Ã : [α, β] → R как композиция непрерывных функций непрерывна на [α, β] (см. теорему 55). Поэтому, в силу
теоремы 61, на отрезке [α, β] |
найдётся точка |
γ [α, β], в которой f ◦ Ã(γ) |
= 0. Положим |
x3 = Ã(γ). Тогда x3 A и f(x3) = 0.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Теорема 66. Каждая элементарная функция непрерывна в своей естественной области определения.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство.
Приведём схему доказательства теоремы:
1.Покажем, что все фундаментальные функции непрерывны в своих естественных областях определения.
2.В силу леммы 5, каждая элементарная функция непрерывна во всех изолированных точках своих естественных областей определения.
3.В силу теорем 55, 57, 58 и 59, каждая элементарная функция непрерывна во всех предельных точках своих естественных областей определения.
Подробное доказательство предлагаем прове-
сти самостоятельно•First. •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
4.7.1. Равномерная непрерывность.
Пусть f : A → B, A Rk, B R, f непрерывна на A. Фиксируем ε > 0. Для каждой точки x A выберем δ(x) > 0 так, чтобы
f Uδ(x)(x) Uε(f(x)).
Найдется ли δ, подходящее сразу для всех x? Ответ – Есть примеры когда δ, подходящее сразу для всех x A, не существует, но также есть примеры когда δ, подходящее сразу для всех x A, удаётся найти.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 107. Пусть
f : A → B, A Rk, B R.
Говорят, что f равномерно непрерывна на
множестве A, если ε > 0 δ = δ(ε) |
> |
0 |
такое, что x1, x2 A, и d(x1, x2) |
< |
δ : |
|f(x1) − f(x2)| < ε. |
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Лемма 10. Каждая равномерно непрерывная на множестве A функция непрерывна на множестве A.
Это следует непосредственно из определения равномерной непрерывности.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Теорема 67. (теорема Гейне-Кантора). Вещественная функция f : K → R, непрерывная на замкнутом, ограниченном множестве K Rk, равномерно непрерывна на K.
Доказательство теоремы опустим.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
