mathanaliz

Теорема 60. (Первая теорема Вейерштрасса). Если отображение

f : K → B, K Rn, B Rk

непрерывно на замкнутом, ограниченном множестве K Rn, то оно ограничено на K.

Доказательство этой теоремы опустим.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Определение 104. Образ отрезка [a, b] R

при отображении Ã : [a, b] → Rk называется

кривой в пространстве Rk если:

1.отображение Ã : [a, b] → Rk непрерывно на

[a, b];

2.отображение [a, b] →Ã Ã ([a, b]) биекция (вза-

имно однозначное).

При этом точки Ã(a), Ã(b) Rk называют на-

чалом и концом кривой, а отображение Ã : [a, b] → Rk называют параметризацией кривой.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Замечание. При движении по кривой мы не возвращаемся в ранее пройденные точки, т.е. не пересекаем свою траекторию нигде, кроме, быть может, её конца. При этом устанавливается естественный порядок: предыдущая точка < последующей точки.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

4.6.Непрерывные функции одной

переменной.

Теорема 61. (об обращении непрерывной функции в нуль). Пусть функция

f : [a, b] → R

непрерывна на сегменте [a, b].

Если f(a)f(b) < 0, то существует c (a, b) такая, что f(c) = 0.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Доказательство. Для доказательства используем

МЕТОД ПОЛОВИННОГО ДЕЛЕНИЯ

Делим отрезок [a, b] пополам. Если в точке деления функция не равна нулю, то на концах одного из двух полученных в результате деления отрезков функция снова принимает значения разных знаков.

С этим отрезком поступаем теперь так же, как и с исходным отрезком [a, b], т.е. делим его пополам.

Продолжаем этот процесс деления до тех пор пока либо на каком-то шаге получим точку деления c (a, b), где f(c) = 0, либо получим последовательность вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю. В последнем случае на основании леммы 4 о вложенных отрезках найдётся единственная точка c (a, b), общая для всех этих отрезков.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

По построению существуют две последовательности (x0n) и (x00n) концов вложенных отрезков такие, что

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Теорема 62. (Вторая теорема Вейерштрасса). Пусть непрерывная вещественная функция f задана на замкнутом, ограниченном множестве K R.

Тогда f принимает на множестве K свое наибольшее значение и свое наименьшее значение.

Доказательство теоремы опустим.

ВТОРАЯ ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА

Посмотрите иллюстрацию к теореме Вейерштрасса.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Теорема 63. Пусть f - непрерывная вещественная функция, определенная на [a, b] R. Тогда образ отрезка [a, b] при отображении f также есть отрезок [c, d], где

c = min f(x), d = max f(x).

x [a,b] x [a,b]

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Отрезок I с концами x1, x2 лежит в сегменте [a, b], поэтому функция ϕ(x) = f(x) − g определена, непрерывна на I и, поскольку

ϕ(x1) · ϕ(x2) = (c − g)(d − g) < 0, то, в силу теоремы 61, между x1 и x2 найдётся точка x3,

в которой ϕ(x3) = f(x3) − g = 0. Следовательно, f(x3) = g. Из выделенного синим цветом

следует утверждение теоремы.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

4.7. Функции многих переменных непрерывные на множестве.

Пусть f : A → B, A Rk, B R.

Теорема 64. (Вторая теорема Вейерштрасса). Если функция f : K → B, K Rk, B R непрерывна на замкнутом, ограниченном множестве K Rk, то она принимает в некоторых точках K минимальное и максимальное из своих значений на K.

Доказательство теоремы опустим.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit