mathanaliz

Доказательство.

(g < 0 вблизи точки x0) =

Uµ(x0) т.ч. x A ∩ Uµ(x0) : g(x) < 0! .

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Положим ε = −g(2x0) > 0.

Из выделенного синим цветом следует, по определению 74, что функция g < 0 вблизи точки x0.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Лемма 8. Пусть g : A → B непрерывна в

точке x0 A и g(x0) 6= 0. Тогда g 6= 0 вблизи точки x0.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Доказательство.

Если g(x0) > 0, то, в силу Леммы 6, g > 0 вблизи точки x0 и, следовательно, g 6= 0 вбли-

зи точки x0.

Если же g(x0) < 0, то, в силу Леммы 7, g < 0 вблизи точки x0 и, следовательно, g 6= 0 вбли-

зи точки x0.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Лемма 9. Пусть g : A → B непрерывна в

точке x0 A.

Тогда функция g ограниченная вблизи точки x0.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Доказательство.

(g непрерывна в точке x A) 53

− 0

(g − ограниченная вблизи точки x0) .

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Теорема 59. Пусть f, g : A → R непрерывны в точке x0 A и g(x0) 6= 0. Тогда частное fg : A → R также непрерывно в точке x0 A.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Доказательство.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

4.5.Отображения непрерывные на

множестве.

Пусть

f : A → B, A Rn, B Rk.

Определение 102. Отображение f : A → B

называется непрерывным на множестве C A, если оно непрерывно в каждой точке множества C A.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Определение 103. Отображение f : A → B

называется ограниченным на множестве

C A, если f(C) Rk ограниченное.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit