4.4. Действия над непрерывными функциями многих переменных.
Пусть функции
f, g : A → B, A Rk, B R
и x0 A предельная точка множества A.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Замечание. В этом разделе мы изучим вопрос о непрерывности суммы, произведения и частного двух функций. Так как, в силу леммы 5, всякое отображение непрерывно в изолированной точке области определения, то нужно рассмотреть только случай когда x0 A предельная точка множества A. В этом же случаи теоремы о непрерывности суммы, произведения и частного двух непрерывных функций являются следствиями соответствующих теорем о пределе суммы, произведении и частном двух функций.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Теорема 57. Если функции f, g : A → R непрерывны в точке x0 A, то их сумма
f + g : A → R
также непрерывна в точке x0 A.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство.
|
|
|
|
53 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(f непрерывна в точке x0) |
|
|
|
lim |
|
|
f(x) = f(x0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(g непрерывна в точке x0) |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
53 |
|
g(x) = g(x0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
lim (f(x) + g(x)) = f(x |
0) + g(x0). |
|
x |
→ |
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
53 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(f + g непрерывна в точке x0) . |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Теорема 58. Если функции f, g : A → R непрерывны в точке x0 A, то их произведение f · g : A → R также непрерывно в точке x0 A.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
|
|
|
|
|
53 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
непрерывна в точке x0) |
|
|
|
lim |
|
|
f(x) = f(x0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
непрерывна в точке x0) |
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
53 |
|
|
|
|
g(x) = g(x0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
|
|
|
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
|
lim (f(x) |
g(x)) = f(x |
|
|
= |
|
|
0) g(x0). |
|
x |
→ |
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
53 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(f · g непрерывна в точке x0) . |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Лемма 6. Пусть g : A → B непрерывна в
точке x0 A и g(x0) > 0. Тогда g > 0 вблизи точки x0.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство.
(g непрерывна в точке x |
) |
|
? |
0 |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
(g(x0) > 0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
73 |
(g > 0 вблизи точки x0) =
Uµ(x0) т.ч. x A ∩ Uµ(x0) : g(x) > 0! .
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Положим ε = |
g(x0) |
> 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
98 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(g непрерывна в точке x0) = |
Uµ(x0) такая, что x A ∩ Uµ(x0) |
: |g(x) − g(x0)| < ε! |
= |
x |
|
A |
∩ |
U |
(x |
) : g(x |
) |
− |
ε < g(x) < g(x |
) + ε! |
|
|
|
|
µ |
0 |
|
|
0 |
|
|
g(x0) |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Uµ(x0) : 0 < |
|
|
|
|
= |
|
|
x |
|
A |
∩ |
|
< g(x) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из выделенного синим цветом следует, по определению 73, что функция g > 0 вблизи точки x0. 
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Лемма 7. Пусть g : A → B непрерывна в точ-
ке x0 A и g(x0) < 0.
Тогда g < 0 вблизи точки x0.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
