mathanaliz

Доказательство. Пусть x0 A есть предельная точка множества A. Так как для каждого ε > 0 f(x0) Uε(f(x0)), то имеет место

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Замечание. Так как lim x = x0, то последнее

x→x0

равенство lim f(x) = f(x0) можно переписать

так:

x→x0

lim f(x) = f( lim x).

x→x0 x→x0

Таким образом, если f непрерывна в точке x0, то знак функции f и знак предельного перехо-

да lim можно менять местами. Это свойство

x→x0

непрерывного отображения часто используется при нахождении пределов отображения.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Теорема 54. Пусть отображение

f : A → B, A Rk, B Rm,

задано соотношением:

где

fi : A → R, i = 1, 2, . . . , m.

Отображение f : A → B непрерывно в точке

x0 A тогда и только тогда, когда каждая из функций fi : A → R, i = 1, 2, . . . , m, непре-

рывна в точке x0 A.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Доказательство. а) В силу леммы 5, теорема очевидна в случаи когда x0 есть изолированная точка множества A.

б) Пусть x0 — предельная точка множества A и (xn), xn A, — произвольная последовательность, сходящееся к точке x0. Тогда

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

4.2. Композиция непрерывных отображений.

Пусть f : A → B, A Rk, B Rm и g : B → C, C Rp.

Теорема 55. Пусть:

1.f : A → B непрерывна в точке x0 A;

2.f(x0) = y0;

3.ϕ : B → C непрерывна в точке y0 B.

Тогда композиция ϕ ◦ f : A → C непрерывна в точке x0.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Доказательство. Доказывать будем по определению непрерывности отображения в точке. Обозначим z0 = ϕ ◦ f(x0) и фиксируем произ-

= ( x A ∩ Uδ(x0) : ϕ ◦ f(x) Uε(ϕ ◦ f(x0))) .

Из выделенного синим цветом следует, по определению 101, что композиция отображений ϕ ◦ f непрерывна в точке x0.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

4.3. Непрерывность функции в предельной точке.

Пусть f : A → B, A Rk, B R и x0 есть предельная точка множества A, а x A произ-

вольная точка. Обозначим через x := x − x0

и будем называть приращением аргумента. Очевидно, что (Δx → 0) (x → x0) . Обо-

значим через f (x0; x) := f(x0 + x) − f(x0)

и будем называть приращением функции f в точке x0, вызванное приращением аргумен-

та x.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Теорема 56. Пусть

f: A → B, A Rk, B R

иx0 есть предельная точка множества A. Тогда для непрерывности функции f в точ-

ке x0 необходимо и достаточно выполнение равенства:

lim f (x0; x) = 0.

x→0

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Доказательство.

(f непрерывна в точке x ) 53

− 0

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Итак, функция f : A → B, A Rk, B R непрерывна в предельной точке x0 A тогда и только тогда, когда бесконечно малое изменение аргумента вызывает бесконечно малое изменение функции.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit