Пример 79 Найти предел
lim |
| sin (1 − x)| |
. |
x→1−0 |
x3 − 1 |
Решение.
Шаг 1. Определите вид неопределённости. Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
| sin (1−x)|
Пример 79 Найти предел lim 3 .
x→1−0 x −1
Решение.
|
|
|
| |
sin (1 |
− |
x) |
| |
0 |
|
lim |
0 |
|
|
3 |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
x |
|
|
1 |
|
|
0 |
|
→ − |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заменяя x на 1 в формуле |
| sin (1−x)| |
, получим |
|
0 |
|
|
x3−1 |
|
|
0 |
. |
( Обоснование правильности этого дей- |
ствия будет в разделе "Непрерывные функции") .
Шаг 2. Избавьтесь от модуля. Выберите метод решения. Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
| sin (1−x)|
Пример 79 Найти предел lim 3 .
x→1−0 x −1
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
sin (1 |
− |
x) |
| |
|
|
0 |
3.2.6 |
|
lim |
0 |
|
|
3 |
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ − |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
lim |
|
|
sin (1 − x) |
= lim |
sin (α(x)) |
|
|
|
x3 − 1 |
|
|
|
|
x→1−0 |
|
|
x3 − 1 |
|
x→1−0 |
Метод решения: "Первый замечательный предел".
Шаг 2. Найдите бесконечно малую функцию
α(x).
Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
| sin (1−x)|
Пример 79 Найти предел lim 3 .
x→1−0 x −1
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
sin (1 |
− |
x) |
| |
|
|
0 |
3.2.6 |
lim |
0 |
|
|
3 |
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
x 1 |
|
|
x |
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
→ − |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α(x) |
|
|
|
sin z |
|
|
}| |
|
|
|
|
sin (α(x)) |
|
(1 |
|
|
x){ |
= lim |
|
= lim |
|
|
− |
|
|
x3 − 1 |
|
|
|
|
x→1−0 |
x→1−0 |
x3 − 1 |
Шаг 3. Организуйте первый замечательный предел.
Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
| sin (1−x)|
Пример 79 Найти предел lim 3 .
x→1−0 x −1
Решение.
|
|
|
| |
sin (1 |
− |
x) |
| |
|
|
|
0 |
3.2.6 |
|
|
sin (α(x)) |
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
= |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
x |
0 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
x |
1 |
|
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
→ − |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ − |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin z |
|
|
}| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 |
|
|
x){ |
|
20.1.1 |
|
sin (1 |
|
|
x) 1 |
|
x |
= |
lim |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
3. |
= |
|
|
lim |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
− |
|
|
x→1−0 |
x3 − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1−0 |
1 − x |
|
· x3 − 1 |
Первый замечательный предел:
lim |
sin (α(x)) |
= 1, где |
lim α(x) = 0. |
x→1−0 |
α(x) |
|
x→1−0 |
|
|
|
|
|
Шаг 4. Найдите lim |
13−x |
. |
|
|
x→1−0 x −1 |
Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
| sin (1−x)|
Пример 79 Найти предел lim 3 .
x→1−0 x −1
Решение.
|
|
|
| |
sin (1 |
− |
x) |
| |
|
0 |
3.2.6 |
|
|
|
|
sin (α(x)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
= |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
0 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ − |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
→ − |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin z |
|
|
}| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 |
|
|
|
x){ |
3.20.1.1 |
|
sin (1 |
|
|
|
|
x) 1 |
|
x |
20.1 |
|
|
1 |
= |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
− |
|
3.= |
|
− |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1−0 |
|
|
x3 − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1−0 |
|
1 − x |
|
|
·x3 − 1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
− |
x |
|
|
|
|
|
0 |
10.18 |
|
|
|
|
|
|
1 |
− |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
lim |
0 |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
x |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0 |
(x |
|
|
1)(x |
2 |
+ x + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ − |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
→ − |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1−0 x2 + x + 1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
Ответ: − 13.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 80. Показать, что не существует числа a R такого, что
lim |
| sin (1 − x)| |
= a. |
x→1 |
x3 − 1 |
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
| sin (1 − x)| |
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
x→1+0 |
x3 − 1 |
|
|
|
|
|
(см. пример 78) и |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
| sin (1 − x)| |
= |
− |
1 |
|
3 |
|
x→1−0 |
x3 − 1 |
|
|
(см. пример 79), то, в силу теоремы 52, не существует числа a R такого, что
lim |
| sin (1 − x)| |
= a. |
x→1 |
x3 − 1 |
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
ТРЕНАЖЁР – ИНСТРУМЕНТ Найти предел
|
lim |
a0x5 + a1x4 + a2x3 + a3x2 + a4x + a5 |
|
b0x5 + b1x4 + b2x3 + b3x2 + b4x + b5 |
|
x→g+0 |
ТРЕНАЖЁР – ИНСТРУМЕНТ Найти предел
|
lim |
a0x5 + a1x4 + a2x3 + a3x2 + a4x + a5 |
|
b0x5 + b1x4 + b2x3 + b3x2 + b4x + b5 |
|
x→g−0 |
ТРЕНАЖЁР – ИНСТРУМЕНТ Найти предел
lim |
|a0x5 + a1x4 + a2x3 |
+ a3x2 + a4x + a5| |
x→g+0 |
b0x5 + b1x4 + b2x3 + b3x2 + b4x + b5 |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
ТРЕНАЖЁР – ИНСТРУМЕНТ Найти предел
lim |
|a0x5 + a1x4 + a2x3 |
+ a3x2 + a4x + a5| |
x→g−0 |
b0x5 + b1x4 + b2x3 + b3x2 + b4x + b5 |
ТРЕНАЖЁР – ИНСТРУМЕНТ Найти предел
|
lim |
arctg |
c |
|
|
|
axn + b |
|
x→g−0 |
|
ТРЕНАЖЁР – ИНСТРУМЕНТ Найти предел
|
lim |
sin (axn + b) |
|
cxm + d |
|
x→g+0 |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
