b) Достаточность. Пусть условия (1-3) выполнены. Воспользуемся определениями предела и одностороннего предела по Коши.
Зададим произвольное ε > 0. Так как
lim f(x) = a, то найдется такое δ1 > 0, что
x→x−0
f ((x0 − δ1, x0) ∩ A) Uε(a).
Аналогично, так как lim f(x) = a, то най-
x→x+0
дется такое δ2 > 0, что
f ((x0, x0 + δ2) ∩ A) Uε(a).
Обозначим δ = min{δ1, δ2}.
Имеем: f ((x0 − δ, x0) ∩ A) Uε(a) и
f ((x0, x0 + δ) ∩ A) Uε(a).
Отсюда:f (Uδ (x0) ∩ A) Uε(a).
Из выделенного синим цветом следует, по
определению Коши, что lim f(x) = a.
x→x0
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Техника нахождения односторонних пределов такая же как и нахождения пределов. При этом, в силу теоремы 52, имеют место все замечательные пределы и их следствия при x → ω + 0 и x → ω − 0.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 78. Найти предел
lim |
| sin (1 − x)| |
. |
x→1+0 |
x3 − 1 |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 78 Найти предел
lim |
| sin (1 − x)| |
. |
x→1+0 |
x3 − 1 |
Решение.
Шаг 1. Определите вид неопределённости. Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
| sin (1−x)|
Пример 78 Найти предел lim 3 .
x→1+0 x −1
Решение.
|
| |
sin (1 |
− |
x) |
| |
0 |
|
lim |
|
3 |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1+0 |
x |
|
|
1 |
|
|
0 |
|
→ |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заменяя x на 1 в формуле |
| sin (1−x)| |
, получим |
|
0 |
|
|
x3−1 |
|
|
0 |
. |
( Обоснование правильности этого дей- |
ствия будет в разделе "Непрерывные функции") .
Шаг 2. Избавьтесь от модуля. Выберите метод решения. Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
| sin (1−x)|
Пример 78 Найти предел lim 3 .
x→1+0 x −1
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
sin (1 |
− |
x) |
| |
|
0 |
|
3.2.6 |
|
lim |
|
|
3 |
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
x 1+0 |
|
|
x |
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
lim |
|
− sin (1 − x) |
= |
lim |
sin (α(x)) |
|
x3 − 1 |
|
x→1+0 |
|
|
|
x3 − 1 |
|
|
|
|
|
|
− x→1+0 |
Метод решения: "Первый замечательный предел".
Шаг 2. Найдите бесконечно малую функцию
α(x).
Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
| sin (1−x)|
Пример 78 Найти предел lim 3 .
x→1+0 x −1
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
sin (1 |
− |
x) |
| |
|
|
0 |
3.2.6 |
lim |
|
3 |
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
x 1+0 |
x |
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
→ |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α(x) |
|
|
|
|
sin z |
|
|
}| |
|
|
|
|
|
sin (α(x)) |
|
(1 |
|
|
x){ |
= |
lim |
|
= lim |
|
|
− |
|
|
x3 − 1 |
|
|
|
|
|
− x→1+0 |
x→1+0 |
1 − x3 |
Минус единицу занесли в знаменатель.
Шаг 3. Организуйте первый замечательный предел.
Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
| sin (1−x)|
Пример 78 Найти предел lim 3 .
x→1+0 x −1
Решение.
|
| |
sin (1 |
− |
x) |
| |
|
0 |
3.2.6 |
|
|
sin (α(x)) |
|
lim |
|
|
|
|
= |
|
|
= |
− |
lim |
|
|
|
|
= |
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
x 1+0 |
x |
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
x 1+0 |
x |
|
1 |
|
→ |
|
− |
|
|
|
|
→ |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α(x)
|
sin z |
|
|
}| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 |
|
|
x){ |
|
20.1.1 |
|
sin (1 |
|
x) |
1 |
|
x |
= lim |
|
|
− |
|
|
3. |
= |
lim |
|
− |
· |
|
− |
|
x→1+0 |
1 − x3 |
|
|
x→1+0 |
1 − x |
1 − x3 |
Первый замечательный предел:
lim |
|
sin (α(x)) |
= 1, где |
lim α(x) = 0. |
x→1+0 |
α(x) |
|
x→1+0 |
|
|
|
|
|
|
Шаг |
4. Найдите lim |
1−x3 |
. |
|
|
|
x→1+0 1−x |
Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
| sin (1−x)|
Пример 78 Найти предел lim 3 .
x→1+0 x −1
Решение.
|
|
|
| |
sin (1 |
− |
x) |
| |
|
0 |
3.2.6 |
|
|
|
|
|
|
sin (α(x)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+0 |
|
|
x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+0 |
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
− |
→ |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin z |
|
|
}| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 |
|
|
|
x){ |
3.20.1.1 |
|
|
|
sin (1 |
|
|
x) 1 |
|
x |
|
|
20.1 1 |
= |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
lim |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
− |
|
|
|
3. |
= |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1+0 |
|
1 − x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1+0 |
1 − x |
|
|
·1 − x3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
− |
x |
|
|
|
|
|
0 |
10.18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
lim |
|
|
|
|
3 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
x |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+0 |
1 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+0 |
(1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
→ |
|
|
− |
x)(1 + x + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + x + x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1+0 |
|
|
|
3 |
|
|
Ответ: 13.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 79. Найти предел
lim |
| sin (1 − x)| |
. |
x→1−0 |
x3 − 1 |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
