ТРЕНАЖЁР
f : A → B R, A
R,
lim f(x) = a
x→x0−0
ТРЕНАЖЁР
f : A → B R, A
R,
lim f(x) = −∞
x→x0−0
ТРЕНАЖЁР
f : A → B R, A
R,
lim f(x) = ∞
x→x0−0
ТРЕНАЖЁР
f : A → B R, A
R,
lim f(x) = +∞
x→x0−0
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 95. (Коши). Ω называется пределом функции f : A → B при x стремящем-
ся к +∞ A0, если Uε(Ω) Uδ(+∞), такая что x Uδ(+∞) ∩ A : f(x) Uε(Ω).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
ТРЕНАЖЁР
f : A → B R, A
R,
lim f(x) = a
x→+∞
ТРЕНАЖЁР
f : A → B R, A
R,
lim f(x) = −∞
x→+∞
ТРЕНАЖЁР
f : A → B R, A
R,
lim f(x) = ∞
x→+∞
ТРЕНАЖЁР
f : A → B R, A
R,
lim f(x) = +∞
x→+∞
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 96. (Коши). Ω называется пре-
делом функции f : A → B при x сходящемся к x0 A0+(x0) справа, если Uε(Ω) Uδ(x0), такая что x Uδ(x0) ∩ A+(x0) : f(x) Uε(Ω).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
ТРЕНАЖЁР
f : A → B R, A
R,
lim f(x) = a
x→x0+0
ТРЕНАЖЁР
f : A → B R, A
R,
lim f(x) = −∞
x→x0+0
ТРЕНАЖЁР
f : A → B R, A
R,
lim f(x) = ∞
x→x0+0
ТРЕНАЖЁР
f : A → B R, A
R,
lim f(x) = +∞
x→x0+0
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 97. (Коши). Ω называется пределом функции f : A → B при x стремящем-
ся к −∞ A0, если Uε(Ω) Uδ(−∞), такая что x Uδ(−∞) ∩ A : f(x) Uε(Ω).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
ТРЕНАЖЁР
f : A → B R, A
R,
lim f(x) = a
x→−∞
ТРЕНАЖЁР
f : A → B R, A
R,
lim f(x) = −∞
x→−∞
ТРЕНАЖЁР
f : A → B R, A
R,
lim f(x) = ∞
x→−∞
ТРЕНАЖЁР
f : A → B R, A
R,
lim f(x) = +∞
x→−∞
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Можно показать, что определения одностороннего предела по Гейне и по Коши эквивалентны.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Теорема 52. Пусть f - вещественная функция, определенная на A R, и для некоторого ε > 0 проколотая ε− окрестность точки x0 входит в A. Иначе:
(x0 − ε, x0) (x0, x0 + ε) A.
Тогда для |
того, чтобы |
существовал |
x→x0 |
R |
, |
необходимо и достаточно |
lim f(x) = a |
|
|
|
|
выполнение трех условий: |
|
1) Существует предел |
lim |
f(x), |
2) Существует предел |
x→x0−0 |
|
lim |
f(x), |
|
|
|
|
x→x0+0 |
|
3) Оба односторонних предела равны a.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство. a) Необходимость.
Пусть lim f(x) = a.
x→x0
Зададимся произвольным ε > 0. В силу определения предела по Коши, найдется такое
δ > 0, что
f (Uδ (x0) ∩ A) Uε(a).
Так как (x0 − δ, x0) Uδ (x0), то
f ((x0 − δ, x0) ∩ A) Uε(a).
Из выделенного синим цветом следует, что
lim f(x) = a.
x→x−0
Аналогично показывается, что lim f(x) = a.
x→x+0
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
