Определение 88 вводит более точную сравни-
тельную характеристику поведения бесконечно малых, в выражении их порядков числами.
При этом для введения шкалы бесконечно малых нужно, прежде всего, в качестве своего
рода "эталона" выбрать одну из фигурирую-
щих в данном исследовании бесконечно малых; её называют основной. Конечно, выбор
основной бесконечно малой в известной мере произволен, но обычно берут простейшую из всех. Если ω = x0 конечная предельная точка множества A R и β : A → B, B R бесконечно малая при x → x0, то за “основную” бесконечно малую берут α(x) = x − x0. Если же ω = ∞ предельная точка множества A R и β : A → B, B R бесконечно малая при x → ∞, то за “основную” бесконечно
малую берут α(x) = x1 .
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Не следует думать, конечно, что для всякой бесконечно малой β (даже сравнимой со всеми степенями αk) может быть установлен определённый порядок.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 75. Найти главную часть вида Cxk бесконечно малой β(x) = 1 − cos x при x → 0.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Решение. Первый вариант решения. Так как
3.24 |
2 |
при x → 0, то, сле- |
β(x) = 1 − cos x |
x2 |
довательно, главной частью бесконечно малой β(x) = 1−cos x при x → 0 является бесконечно малая 12 · x2.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
lim
x→0
Второй вариант решения. Попробуем подобрать k > 0 и C 6= 0 такие, что
1 − cos x = C. xk
Тогда, согласно определению 88, главной частью бесконечно малой β(x) = 1 − cos x при
x → 0 является бесконечно малая C · xk.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
1 |
− |
cos x 10.32 |
|
2 sin2 x |
20.1.1 |
lim |
|
|
= |
lim |
2 |
3. |
= |
|
|
|
x→0 |
xk |
|
x→0 |
xk |
|
|
|
|
1 |
sin x 2 |
· |
x2 |
|
|
|
|
|
· |
2 |
|
|
|
= lim |
|
|
|
x |
|
|
|
k |
x |
|
0 |
2 |
|
|
|
x |
→ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, если k < 2,
1
2, если k = 2,
+∞, если k > 2.
Итак, единственный вариант, удовлетворяющий определению 88, это k = 2, C = 12.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 76. Найти главную часть вида xCk бесконечно малой β(x) = 3 sin2 x23 при x → ∞.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Решение. Первый вариант решения.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.15 |
2 |
|
|
|
Так как β1(x) = sin |
2 |
|
|
|
при x |
→ |
∞, |
x3 |
x3 |
то, β(x) = 3 sin2 |
2 |
3 |
4 |
|
при x → ∞ и, |
сле- |
x3 |
x6 |
довательно, главной частью бесконечно малой β(x) = 3 sin2 x23 при x → ∞ является бесконечно малая x126.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Второй вариант решения. Попробуем подобрать k > 0 и C 6= 0 такие, что
|
3 sin2 |
2 |
|
|
lim |
x3 |
|
= C. |
1 |
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
xk |
|
|
|
Тогда, согласно определению 88, главной частью бесконечно малой β(x) = 3 sin2 x23 при
x → ∞ является бесконечно малая xCk .
|
|
|
2 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
4 |
|
lim |
1 |
|
|
x |
3 |
= |
lim 3 |
|
2 x |
3 |
|
|
|
|
x |
6 |
|
|
3 sin |
|
|
|
|
|
|
.20.1.1 |
|
|
sin |
|
|
|
|
· |
|
|
|
x→∞ |
|
xk |
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
x3 |
|
|
|
|
|
x1k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, если k < 6,
3.20.1
= 12, если k = 6,
+∞, если k > 6.
Итак, единственный вариант, удовлетворяющий определению 88, это k = 6, C = 12.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 77. Найти главную часть вида
C(x + 1)k
бесконечно малой
|
tg3 (x |
+ 1) |
|
|
β(x) = |
arcsin √ |
|
|
|
|
|
2! |
3 |
− |
x |
− |
|
|
|
|
|
|
при x → −1.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
