3.22.2. Таблица эквивалентных бесконечно малых.
Пусть ω конечная или бесконечно удалённая предельная точка множества A Rk и
α : A → B, A Rk, B R бесконечно малая при x → ω.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
sin α(x) |
α(x) при x → ω; |
(3.15) |
arcsin α(x) |
α(x) при x → ω; |
(3.16) |
tg α(x) |
α(x) при x → ω; |
(3.17) |
arctg α(x) |
α(x) при x → ω; |
(3.18) |
loga (1 + α(x)) α(x) · loga e при x → ω; |
aα(x) − 1 |
|
(3.19) |
α(x) · ln a при x → ω; |
(3.20) |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
s |
|
|
|
√ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
α(x) при x |
|
|
|
|
|
|
|
|
a + α(x) |
|
a |
|
|
ω; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
2√a · |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.21) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
√3 a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sa + α(x) |
− |
|
3√3 |
|
· α(x) при x → ω; |
a2 |
(1 + α(x))µ − 1 |
µ · α(x) при x → ω; |
(3.22) |
(3.23) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(α(x))2 |
|
|
|
|
1 − cos (α(x)) |
|
|
|
|
при x → ω. |
(3.24) |
|
|
2 |
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 74. Используя следствие 51.1 и таблицу эквивалентных, найти предел
lim tg x − sin x.
x→0 x3
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
tg x − sin x |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
x3 |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg x(1 |
cos x) |
|
и |
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
51.1 = 3.17 |
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(1 |
− |
cos x) |
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
51.1 |
= 3.24 |
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
x3 |
|
|
|
|
x · x22 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
= |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
x3 |
|
2 |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Внимание! Одна из самых распространённых ошибок при вычислении предела некоторого выражения данным методом заключается в замене бесконечно малой функции, не являющейся множителем всего этого выражения, на эквивалентную бесконечно малую (чаще всего такая ошибочная замена делается в отдельном слагаемом алгебраической суммы).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Для более выпуклого пояснения выделенной мысли покажем как иногда ошибочно решают пример 74:
|
tg x |
− |
sin x |
17 |
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
3=. |
|
|
|
|
|
|
x→0 |
x3 |
|
|
x |
− |
sin x |
15 |
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
3=. |
|
|
|
|
|
|
x→0 |
x3 |
= lim |
x − x |
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
x3 |
|
что не совпадает с ранее полученным верным результатом.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА Сравнение бесконечно малых функций.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
3.22.3. Главная часть бесконечно малых.
Пусть ω конечная или бесконечно удалённая
предельная точка множества A Rk и
α, β : A → B, B R бесконечно малые при x → ω.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 88. Говорят, что бесконечно малая β имеет порядок малости k (k > 0) относительно бесконечно малой α при x → ω, если
lim |
β(x) |
= C, где C - число, C = 0. |
|
x→ω [α(x)]k |
6 |
При этом бесконечно малую C · [α]k, эквивалентную β при x → ω, называют главной частью бесконечно малой β при x → ω.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
