mathanaliz

86

(α и β бесконечно малые одного порядка при x → ω)

h1, h2 R и Uµ(ω) такие, что x A ∩ Uµ(ω) :

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Фиксируем ε0 = |a2| > 0.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пример 73. Пусть

α(x) = x(2 + cos x) и β(x) = sin 2x.

Показать, что это - бесконечно малые одного порядка при x → 0.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Решение. Очевидно, что α и β бесконечно малые при x → 0. Так как

то, в силу теоремы 49, α и β бесконечно малые одного порядка при x → 0.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Теорема 50. Бесконечно малые α(x) и β(x) эквивалентны при x → ω тогда и только тогда, когда их разность есть бесконечно малая более высокого порядка, чем α(x) ( и β(x)) при x → ω.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Доказательство.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Теорема 51. Пусть

α(x) α1(x) и β(x) β1(x) при x → ω.

Тогда, если существует

lim α(x),

x→ω β(x)

то существует и

lim α1(x),

x→ω β1(x)

и эти пределы равны.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Следствие 51.1. При вычислении пределов вида

x → ω, можно заменять каждый из множителей αi, βj на величину, эквивалентную этому множителю, не меняя величины предела.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit