Для примеров этого учебника:
Если ищется предел при x → g, g 6= 0, и ни один из выше перечисленных методов не подходит, то только тогда рекомендуется перейти к новому аргументу t = x − g (x = t + g), который стремится к нулю при x → g.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 71. Найти предел
lim sin 3x. x→π sin 2x
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Решение.
В этом примере имеется:
1.Неопределённость вида 00 ;
2.Функции синус, аргументы которых не являются бесконечно малыми при x → π. Поэто-
му для решения этого примера метод “Первый замечательный предел” не подходит.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Сделаем замену x = t + π. Тогда получим
|
sin 3x |
0 |
|
|
sin (3t + 3π) |
|
|
lim |
|
= |
|
|
|
= lim |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
x π |
sin 2x |
|
0 |
|
t 0 |
sin (2t + 2π) |
|
|
→ |
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− sin 3t |
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
. |
|
|
|
|
|
|
|
t→0 |
sin 2t |
Теперь имеем:
1.Неопределённость вида 00 ;
2.Функции синус, аргументы которых являются бесконечно малыми при t → 0.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Продолжим решение этого примера методом “Первый замечательный предел”.
|
− |
sin 3t |
|
0 |
|
|
|
sin 3t |
|
1 |
|
3t |
3 |
lim |
|
= |
|
|
= |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
. |
|
|
|
|
|
|
sin 2t |
|
|
|
|
|
t 0 |
sin 2t |
|
0 |
|
|
− |
t 0 |
3t |
· |
|
· |
2t |
−2 |
→ |
|
|
|
→ |
2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
3.22.Сравнение бесконечно малых
функций.
Пусть ω конечная или бесконечно удалённая предельная точка множества A Rk и
α, β : A → B, A Rk, B R бесконечно малые при x → ω.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 85. Если
lim α(x) = 0,
x→ω β(x)
то говорят, что α есть бесконечно малая более высокого порядка, чем β при x → ω и
пишут α = o(β) при x → ω.
Обозначение α = o(β) читается “α есть o малое от β при x → ω.”
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 72. Если α(x) - бесконечно малая при x → ω, то (α(x))2 есть бесконечно малая более высокого порядка, чем α(x) при x → ω.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 86. Говорят, что функции α и
|
β, бесконечно малые одного |
|
порядка при |
|
x → |
ω, если h1, h2 |
R и Uµ(ω) |
такие, |
|
что |
|
|
|
|
|
|
α(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
A |
∩ |
U (ω) : 0 < h < |
|
|
|
< h . |
|
β(x) |
|
|
|
|
µ |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Теорема 49. Пусть функции α и β бесконечно малые при x → ω.
Если lim α(x) конечен и отличен от нуля,
x→ω β(x)
то функции α и β бесконечно малые одного порядка при x → ω.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
