Словами “Организовать третье следствие второго замечательного предела” обозначим следующую последовательность действий:
|
|
|
(1 + α(x))µ |
− |
1 |
0 |
|
lim |
|
|
= |
|
|
= |
|
|
|
x |
→ |
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β(x) |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
(1 + α(x))µ − 1 |
|
α(x) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ω |
α(x) |
· β(x) |
Так как lim |
(1+α(x))µ−1 |
= µ, то нужно най- |
|
|
|
x→ω |
α(x) |
|
|
|
|
ти |
lim α(x) |
|
0 |
|
|
найти |
x |
→ |
ω β(x) |
|
= |
0 |
, что проще, чем |
|
|
|
µ |
−1. В этом и состоит суть мето- |
lim |
(1+α(x)) |
x→ω |
|
β(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
да. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 70. Найти предел
lim 1 − cosµ x (µ − вещественное).
x→0 x2
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 70 Найти предел
lim 1 − cosµ x (µ − вещественное).
x→0 x2
Решение.
Шаг 1. Определите вид неопределённости. Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 70 Найти предел
lim 1 − cosµ x (µ − вещественное).
x→0 x2
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− |
cosµ x |
0 |
|
lim |
|
|
2 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
x |
|
0 |
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заменяя x на |
0 в формуле |
1 |
cosµ x |
, получим |
|
−x2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
. ( Обоснование правильности этого дей- |
ствия будет в разделе "Непрерывные функции" ) .
Шаг 2. Выберите метод решения. Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 70 Найти предел
lim 1 − cosµ x (µ − вещественное).
x→0 x2
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− |
cosµ x |
0 |
|
|
(1 + α(x))µ |
− |
1 |
lim |
|
|
2 |
= |
|
|
|
= lim |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
x |
|
0 |
|
x 0 |
|
x |
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
→ |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Метод решения: "Третье следствие второго замечательного предела".
Шаг 2. Найдите бесконечно малую функцию
α(x).
Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 70 Найти lim 1−cosµ x
x→0 x2
Решение.
|
1 |
− |
cosµ x |
0 |
|
|
(1 + α(x))µ |
− |
1 |
|
lim |
|
|
2 |
= |
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
x |
|
0 |
|
x 0 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
→ |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
µ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
1) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + z |
(cos |
}| |
− |
|
{ |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim
x→0 −x2
Для выделения бесконечно малой функции α(x) воспользуемся
приёмом "Добавить и вычесть единицу": cos x = 1 + (cos x − 1).
Шаг 3. Организуйте третье следствие второго замечательного предела.
Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 70 Найти предел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
1 − cosµ x |
(µ |
− |
вещественное). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
1 − cosµ x |
= |
|
0 |
|
= lim |
(1 + α(x))µ − 1 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
µ x2 |
|
|
0 |
|
|
x→0 |
|
−x2 |
µ |
|
|
|
|
|
|
|
α(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(cos x |
|
1) |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(cos x |
|
1) |
|
1 |
|
|
|
1 + z |
}| |
− |
{ |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + z |
|
}| |
− |
|
{ |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.20.2.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x − 1 |
|
× |
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× |
cos x − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−x2 |
|
Третье следствие второго замечательного предела: |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
(1+α(x))µ−1 |
= µ, где lim α(x) = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
α(x) |
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Шаг 4. Найдите lim |
1−cos2 |
x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перейдите на следующую страницу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 70 Найти предел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
1 − cosµ x |
(µ |
− |
вещественное). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
1 − cosµ x |
= |
|
0 |
|
= lim |
(1 + α(x))µ − 1 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
µ x2 |
|
|
0 |
|
|
x→0 |
|
|
|
−x2 |
µ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
}| |
|
|
{ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + z |
|
|
}| |
|
{ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + (cos x |
− |
1) |
|
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(cos x |
− |
|
|
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.20.2.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x − 1 |
|
|
|
× |
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× |
cos x − 1 |
= |
µ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−x2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
x 0 |
|
−x2 |
|
= |
0 |
= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
1 |
cos x |
|
|
0 |
1 (см. пример 64). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
µ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА Замечательные пределы и их следствия.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
3.21.Метод “Замена переменных”.
Пусть требуется найти lim f(x). Аргумент x
x→x0
заменим функцией ϕ(t) так чтобы
lim ϕ(t) = x |
0 |
|
lim |
ϕ−1(x) = t |
|
t t |
x |
→ |
x0 |
|
0 |
→ 0 |
|
|
|
|
|
|
и были выполнены условия теоремы 27 о пределе композиции отображений. Тогда
lim |
f(x) = lim f |
◦ |
ϕ(t). |
→ |
→ |
|
x x0 |
t t0 |
|
Замену x = ϕ(t) подбирают так чтобы lim f ◦
t→t0
ϕ(t) был бы проще исходного.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
