В этом примере имеется:
1.неопределённость вида 00 ;
2.показательная функция, аргумент которой
α(x) → 0 при x → ω.
Словами “Организовать второе следствие второго замечательного предела” обозначим следующую последовательность действий:
|
|
|
aα(x) |
− |
1 |
0 |
|
|
|
|
aα(x) |
− |
1 α(x) |
lim |
|
|
= |
|
|
= |
lim |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
x |
→ |
ω |
|
|
|
|
|
|
|
x |
→ |
ω |
|
|
|
· β(x) |
|
|
β(x) |
|
|
|
|
|
|
|
α(x) |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Так |
как lim |
|
aα(x)−1 |
|
x→ω |
α(x) |
ти |
lim α(x) |
|
0 |
|
x→ω β(x) |
= 0 , |
lim aα(x)−1. В этом и
x→ω β(x)
= ln a, то нужно най-
что проще, чем найти
состоит суть метода.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 69. Найти предел
lim e−3x − 1.
x→0 x
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 69 Найти предел
lim e−3x − 1.
x→0 x
Решение.
Шаг 1. Определите вид неопределённости. Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 69 Найти предел
lim e−3x − 1.
x→0 x
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e−3x |
− |
1 |
0 |
|
lim |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
x |
|
|
|
0 |
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заменяя x на 0 в формуле |
e−3x |
1 |
|
0 |
|
x− |
|
, получим |
0 |
. |
( Обоснование правильности этого действия будет в разделе "Непрерывные функции") .
Шаг 2. Выберите метод решения. Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 69 Найти предел
lim e−3x − 1.
x→0 x
Решение.
|
e−3x |
− |
1 |
0 |
|
lim |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
x |
|
|
|
0 |
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Метод решения: "Второе следствие второго замечательного предела".
Шаг 2. Найдите бесконечно малую функцию
α(x).
Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 69 Найти предел
lim e−3x − 1.
x→0 x
Решение.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α(x) |
|
|
|
e− |
|
1 |
0 |
|
|
|
|
}| |
|
{ |
|
1 |
|
|
|
ez( |
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
3x) |
|
|
lim |
|
|
− |
= |
|
|
= lim |
|
− |
− |
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
x |
|
|
0 |
|
x 0 |
|
|
x |
|
|
→ |
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α(x) = (−3x) → 0 при x → 0.
Шаг 3. Организуйте второе следствие второго замечательного предела.
Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 69 Найти предел lim e−3x−1.
x→0 x
Решение.
α(x)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
}| |
|
|
{ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
1 |
0 |
|
|
e |
|
|
|
|
|
3x) |
|
|
1 |
3.20.2.3 |
|
|
e− |
− |
|
|
|
|
− |
|
− |
lim |
|
|
|
= |
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
0 |
|
x |
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
0 |
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
}| |
|
|
{ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
e − |
|
|
− 1 |
−3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
→ |
0 |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
· x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
Второе следствие второго замечательного предела: |
|
|
lim eα(x)−1 |
= ln e = 1, где lim α(x) = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
α(x) |
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Шаг 4. Найдите lim −3x.
x→0 x
Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 69 Найти предел lim e−3x−1.
x→0 x
Решение.
α(x)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
}| |
|
|
{ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e− |
3x |
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
3x) |
|
|
1 |
3.20.2.3 |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
− |
lim |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
}| |
|
|
|
|
{ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
e − |
|
|
|
|
|
|
|
− 1 |
|
−3x |
= |
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
− |
3x |
|
|
|
|
· |
|
|
x |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
− |
= |
|
|
|
|
= lim ( |
|
3) = |
|
|
3. |
|
|
x |
→ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
→ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: −3.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
ТРЕНАЖЁР |
|
ТРЕНАЖЁР |
Найти предел |
|
Найти предел |
lim |
acxn+d − 1 |
|
lim |
acxn+d − 1 |
x→g |
pxm + q |
|
x→g sin (pxm + q) |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
3.20.2.4. Метод “Третье следствие второго замечательного предела”.
Суть метода “Третье следствие второго замечательного предела” поясним на примере: Пусть ω есть конечная или бесконечно удалённая предельная точка множества A Rk, α, β : A → R, бесконечно малые при x → ω и α 6= 0 вблизи ω. Найти
|
|
|
(1 + α(x))µ |
− |
1 |
0 |
lim |
|
|
= |
|
. |
|
|
|
x |
→ |
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
β(x) |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
