•Quit
•Close
•First
•Next
•Full Screen
•Prev
•Go Back
•Last
3.20.2.2. Метод “Первое следствие второго замечательного предела”.
Суть метода “Первое следствие второго замечательного предела” поясним на примере: Пусть ω есть конечная или бесконечно удалённая предельная точка множества A Rk,
f, β : A |
→ R |
и |
lim f(x) = 1, lim β(x) = 0. |
Найти |
|
x |
→ |
ω |
x |
→ |
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
loga f(x) |
0 |
|
|
|
lim |
|
|
= |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
ω |
|
β(x) |
|
0 |
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как lim f(x) = 1, то, в силу теоремы 28,
x→ω
f(x) = 1 + α(x), где α(x) → 0 при x → ω и α 6= 0 вблизи ω.
Словами “Организовать первое следствие второго замечательного предела” обозначим следующую последовательность действий:
0 |
|
|
|
|
loga (1 + α(x)) |
= |
|
|
|
= lim |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
x |
→ |
ω |
|
|
|
0 |
|
|
|
β(x) |
|
|
|
|
|
= lim loga (1 + α(x)) · α(x). x→ω α(x) β(x)
Так |
|
как |
lim |
loga(1+α(x)) |
= |
loga e, то, |
нуж- |
|
α(x) |
|
но |
найти |
x→ω |
α(x) = |
0 |
что проще, |
чем |
|
lim |
|
|
|
x→ω β(x) |
0 , |
|
|
lim |
|
loga f(x) |
. |
|
|
|
|
|
|
β(x) |
|
|
|
|
|
x→ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
В этом и состоит суть метода.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 68. Найти предел
lim ln (1 − 5x).
x→0 x
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 68 Найти предел
lim ln (1 − 5x).
x→0 x
Решение.
Шаг 1. Определите вид неопределённости. Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 68 Найти предел
lim ln (1 − 5x)
x→0 x
Решение.
lim ln (1 − 5x) =
x→0 x
Заменяя x на 0 в формуле |
ln (1−5x) |
, получим |
|
0 |
|
x |
|
|
|
|
0 |
. ( Обоснование правильности этого дей- |
ствия будет в разделе "Непрерывные функции") .
Шаг 2. Выберите метод решения. Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 68 Найти предел
lim ln (1 − 5x)
x→0 x
Решение.
lim ln (1 − 5x) =
x→0 x
Метод решения: "Первое следствие второго замечательного предела".
Шаг 2. Найдите бесконечно малую функцию
α(x).
Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 68 Найти предел
lim ln (1 − 5x).
x→0 x
Решение.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
}| |
|
{ |
|
ln (1 |
|
5x) |
0 |
|
ln (1 + z( |
|
|
lim |
− |
= |
|
= lim |
|
|
− |
5x)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
x |
|
|
0 |
|
x 0 |
x |
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α(x) = (−5x) → 0 при x → 0.
Шаг 3. Организуйте первое следствие второго замечательного предела.
Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
ln (1−5x)
Пример 68 Найти предел lim x .
x→0
Решение.
α(x)
|
|
ln (1 |
|
5x) |
0 |
|
|
|
ln (1(z |
|
|
|
}| |
|
|
|
{ |
|
3.20.2.2 |
|
lim |
|
− |
|
|
|
|
= lim |
|
|
− |
5x)) |
|
|
= |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
0 |
x |
|
|
|
|
x |
|
0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
0 |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln (1(z |
|
|
|
|
}| |
|
|
{ |
|
|
|
5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
− |
|
|
|
|
|
· |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
→ |
0 |
− |
5x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Первое следствие второго замечательного предела: |
|
|
|
|
|
|
lim |
ln 1+α(x) |
= ln e = 1, где |
lim α(x) = 0. |
|
|
|
|
x→0 |
|
α(x) |
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Шаг 4. Найдите lim −5x.
x→0 x
Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
ln (1−5x)
Пример 68 Найти предел lim x .
x→0
Решение.
α(x)
|
ln |
(1 |
|
5x) |
|
|
0 |
|
|
ln (1(z |
|
|
}| |
|
{ |
3.20.2.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x)) |
|
lim |
|
|
− |
|
= |
|
|
|
= lim |
|
|
− |
= |
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
x |
|
|
|
0 |
|
x 0 |
|
x |
|
→ |
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α(x)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
(1(z |
|
|
|
}| |
|
|
{ |
|
|
5x |
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
− |
5x)) |
|
− |
|
= 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
→ |
0 |
|
|
− |
|
|
|
|
· |
|
x |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x |
|
|
|
|
|
|
5x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
x |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
− |
= |
|
|
|
= |
lim ( |
|
|
5) = |
|
5. |
|
x |
→ |
0 |
|
|
|
|
|
|
x |
→ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: −5.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
3.20.2.3. Метод “Второе следствие второго замечательного предела”.
Суть метода “Второе следствие второго замечательного предела” поясним на примере: Пусть ω есть конечная или бесконечно удалённая предельная точка множества A Rk, α, β : A → R, бесконечно малые при x → ω и α 6= 0 вблизи ω. Найти
lim aα(x) − 1.
x→ω β(x)
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
