Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.14) и Теорема 47 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
= ln e = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
ω |
|
|
β(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 46 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln (1+α(x)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ln e = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
ω |
|
|
|
α(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
µ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
(1+α(x)) −1 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
→ |
ω |
|
|
α(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eµ ln (1+α(x))−1 |
µ ln (1+α(x)) |
|
|
|
|
= |
lim |
= |
|
|
|
|
|
x→ω µ ln (1+α(x)) · |
α(x) |
|
|
|
|
= µ |
|
|
lim |
eβ(x) |
|
1 ln (1+α(x)) |
= µ |
|
1 |
|
· |
x |
→ |
ω |
|
β(x−) |
· |
α(x) |
|
|
· |
· |
1 = µ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
3.20.2.1. Метод “Второй замечательный предел”.
Суть метода “Второй замечательный предел” поясним на примере:
Пусть ω есть конечная или бесконечно удалённая предельная точка множества A Rk,
f, β : A → R |
и |
lim f(x) = 1, |
lim β(x) = 0. |
|
x |
→ |
ω |
x |
→ |
ω |
Найти |
|
|
1 |
|
|
lim (f(x))β(x) = (1∞)
x→ω
(Это новый вид неопределённости).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Так как lim f(x) = 1, то, в силу теоремы 28,
x→ω
f(x) = 1 + α(x), где α(x) → 0 при x → ω и α 6= 0 вблизи ω. Словами “Организовать второй замечательный предел” обозначим следующую последовательность действий:
1
lim (f(x))β(x) = (1∞) =
x→ω
|
|
|
|
|
α(x) |
|
|
|
|
1 |
β(x) |
= lim |
|
(1 + α(x))α(x) . |
x |
→ |
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так |
как |
|
|
1 |
|
= e, тогда, если |
lim (1 + α(x))α(x) |
|
|
x→ω |
|
|
|
1 |
|
|
α(x) |
= 0 = K, то |
|
(f(x)) |
|
= eK. |
lim |
lim |
β(x) |
x→ω β(x) |
0 |
x→ω |
|
|
|
В этом и состоит суть метода.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 67. Найти предел
|
x + |
1 |
2x−1 |
lim |
|
|
|
|
. |
|
|
|
x + |
|
|
2 |
|
|
x |
− |
|
→ ∞ |
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 67 Найти предел
|
x + |
1 |
2x−1 |
lim |
|
|
|
|
. |
|
|
|
x + |
|
|
2 |
|
|
x |
− |
|
→ ∞ |
|
|
Решение.
Шаг 1. Определите вид неопределённости. Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 67 Найти предел |
|
|
lim |
x+1 2x−1 . |
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ |
x−2 |
|
|
|
|
|
|
|
x + 1 2x−1 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
= (1∞) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
− |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x+1 |
|
2x |
1 |
Заменяя x на +∞ (см. конец раздела 1.3) в формуле x−2 |
− |
, |
получим ∞∞ ∞ . Это не является видом неопределённости, но ∞∞ |
это вид неопределённости. Найдём сначала |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 1 3.19.3 |
|
|
|
x 1 + x1 |
|
|
|
|
1 + x1 |
53 |
|
|
|
lim |
|
|
= |
|
lim |
|
|
|
|
|
= |
lim |
|
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − x2 |
|
|
|
x→+∞ x − 2 |
x→+∞ x 1 − x2 |
|
x→+∞ |
|
|
|
|
Шаг 2. Выберите метод решения. Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 67 Найти предел
|
|
|
|
|
|
|
x + 1 2x−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
− |
2 |
|
|
|
Решение. |
|
|
→ ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 1 2x−1 |
|
|
|
28 |
|
2x 1 |
lim |
|
|
|
|
|
= (1∞) = |
lim (1 + α(x)) |
− |
|
|
|
x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
+ |
|
|
|
x |
− |
2 |
|
|
|
|
|
|
→ ∞ |
|
|
→ ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Метод |
|
|
решения: |
"Второй |
замечательный |
|
предел". |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Шаг 2. Найдите бесконечно малую функцию
α(x).
Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 67 Найти предел |
lim |
x+1 |
|
2x−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ |
x−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 1 |
|
2x |
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2x−1 |
|
lim |
|
|
|
|
|
28 |
|
|
lim |
|
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
2 |
|
x |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
→ ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
{z |
|
|
} |
α(x)
Для выделения бесконечно малой функции α(x) воспользуемся приёмом "Добавить и вычесть единицу".
x + 1 |
|
= 1 + |
|
x + 1 |
|
− |
1 |
= 1 + |
3 |
, |
x − 2 |
|
x − 2 |
|
x − 2 |
|
|
|
где α(x) = x−3 2 → 0 при x → +∞.
Шаг 3. Организуйте второй замечательный предел. Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 67 Найти предел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
x + 1 |
2x−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
x→+∞ x − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 1 |
|
2x |
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2x−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
28 |
|
lim |
|
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.20.2.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ ∞ |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
→ ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
{z |
|
} |
|
|
|
|
|
3(2x−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
|
|
x−3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
lim |
3 |
|
x−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ ∞ |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Второй замечательный предел: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
= e, где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim (1 + α(x)) |
α(x) |
|
|
|
|
lim |
α(x) = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Шаг 4. Найдите |
|
lim |
3(2x−1) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ |
x−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перейдите на следующую страницу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 67 Найти предел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
x + 1 |
2x−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ x − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 1 |
|
2x |
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2x−1 |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
28 |
lim |
|
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
3.20.2.1 |
|
|
|
|
|
x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ ∞ |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
{z |
|
} |
|
|
|
|
|
3(2x−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
|
|
|
|
x−3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
lim |
|
|
3 |
|
|
x−2 |
= e6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
+ |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3(2x |
− |
1) |
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
3.19.3 |
|
|
|
|
|
|
|
− x2 |
|
53 |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
= |
|
|
= |
|
|
|
lim |
|
|
|
|
= 6. |
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ x − 2 |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ 1 |
− x |
|
|
|
|
Ответ: e6.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
