mathanaliz

ТРЕНАЖЁР – ИНСТРУМЕНТ Найти предел

lim arctg (axn + b)

x→g cxm + d

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

3.20.2. Второй замечательный предел и его следствия.

Пусть ω конечная или бесконечно удалённая предельная точка множества A Rk,

α : A → B, B R

бесконечно малая при x → ω и α 6= 0 вблизи

ω.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Теорема 45. Степень, основание которой равно сумме единицы и бесконечно малой при x → ω, а показатель есть величина, обратная этой бесконечно малой при x → ω, имеет пределом число e при x → ω. Итак,

Этот предел называется вторым замечательным пределом.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Теорема 46. Первым следствием второго замечательного предела называют

lim loga (1 + α(x)) = loga e,

x→ω α(x)

где α(x) → 0 при x → ω.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Теорема 47. Вторым следствием второго замечательного предела называют

lim aα(x) − 1 = ln a,

x→ω α(x)

где α(x) → 0 при x → ω.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Доказательство. Обозначим β(x) = aα(x) − 1.

Очевидно, что α(x) = loga (1 + β(x)).

lim β(x) = 0. (3.13)

x→ω

Тогда, учитывая (3.13) и теорему 32, получим

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Теорема 48. Третьим следствием второго замечательного предела называют

lim (1 + α(x))µ − 1 = µ,

x→ω α(x)

где α(x) → 0 при x → ω.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Доказательство.

Обозначим β(x) = µ · ln (1 + α(x)).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit