Пример 64 Найти предел
lim 1 − cos x.
x→0 x2
Решение.
Шаг 1. Определите вид неопределённости. Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 64 Найти предел
lim 1 − cos x.
x→0 x2
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− |
cos x |
0 |
|
lim |
|
|
2 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
x |
|
0 |
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заменяя x на 0 в формуле 1−cos2 |
x, получим |
|
0 |
. |
x |
|
|
0 |
|
( Обоснование правильности этого действия будет в разделе "Непрерывные функции") .
Шаг 2. Выберите метод решения. Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 64 Найти предел
lim 1 − cos x.
x→0 x2
Решение.
|
1 |
− |
cos x |
|
0 |
10.32 |
|
2 sin2 x |
lim |
|
|
|
= |
|
|
= |
lim |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
x 0 |
x |
|
0 |
|
|
x 0 |
x |
→ |
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Первый вариант. Метод "Умножить на сопряжённое": lim |
1 |
cos x |
= |
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
x |
|
|
sin |
2 |
x |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
, а дальше метод "Первый замечательный предел". |
|
2 |
|
|
|
x→0 x (1+cos x) |
|
|
1 |
cos x |
= |
Второй вариант. используя формулу 10.32, получим |
lim − 2 |
|
2 x |
|
|
|
x→0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
2 sin |
2 |
, а дальше метод "Первый замечательный предел". |
|
2 |
|
|
x→0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 64 Найти предел lim 1−cos x.
x→0 x2
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− |
cos x |
|
|
0 |
10.32 |
|
|
|
2 sin2 x |
|
|
lim |
|
|
|
= |
|
|
|
= |
lim |
|
2 |
= |
|
|
2 |
|
|
2 |
x 0 |
x |
|
|
0 |
|
|
x |
0 |
x |
|
|
→ |
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin (α(x)) 2 |
|
|
|
|
|
|
|
= lim 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Метод "Первый замечательный предел".
Шаг 3. Найдите бесконечно малую функцию
α(x).
Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 64 Найти предел lim 1−cos x.
x→0 x2
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− |
cos x |
|
|
0 |
10.32 |
|
|
|
2 sin2 x |
|
|
lim |
|
|
|
= |
|
|
|
= |
lim |
|
2 |
= |
|
|
2 |
|
|
2 |
x 0 |
x |
|
|
0 |
|
|
x |
0 |
x |
|
|
→ |
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin (α(x)) 2 |
|
|
|
|
|
|
|
= lim 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Бесконечно малая α(x) – аргумент функции sin. α(x) = x2 → 0 при x → 0.
Шаг 4. Организуем первый замечательный предел.
Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 64 Найти предел lim 1−cos x.
x→0 x2
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− |
cos x |
0 |
10.32 |
|
|
2 sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
= |
|
|
|
= |
lim |
|
|
|
2 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
x 0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
0 |
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x 2 |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
sin (α(x)) 2 |
3.20.1.1 |
|
|
|
|
2 |
|
1 |
= lim 2 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
lim |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
4 |
= |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
2 |
|
x 0 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
· |
|
|
x |
|
2 |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Первый замечательный предел:
lim sin (α(x)) = 1, x→0 α(x)
где α(x) → 0 при x → 0.
Ответ: 12 .
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
ТРЕНАЖЁР |
|
ТРЕНАЖЁР |
Найти предел |
|
Найти предел |
lim |
sin (xn + b) |
|
lim |
sin (xn + b) |
|
|
|
|
|
x→g cxm + d |
|
x→g sin (cxm + d) |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
3.20.1.2. Метод “Первое следствие первого замечательного предела”.
Суть метода “Первое следствие первого замечательного предела” поясним на примере: Пусть ω есть конечная или бесконечно удалённая предельная точка множества A Rk, α, β : A → R, бесконечно малые при x → ω и α 6= 0 вблизи ω. Найти
lim arcsin α(x).
x→ω β(x)
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
В этом примере имеется:
1.неопределённость вида 00 ;
2.функция арксинус, аргумент которой
α(x) → 0 при x → ω.
Словами “Организовать первое следствие первого замечательного предела” обозначим следующую последовательность действий:
|
|
|
arcsin α(x) |
0 |
|
|
|
|
|
arcsin α(x) |
|
α(x) |
lim |
|
= |
|
|
|
= |
lim |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
x |
→ |
ω |
|
|
|
|
|
|
x |
→ |
ω |
|
· β(x) |
|
|
β(x) |
|
|
|
|
|
|
|
α(x) |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Так |
|
как lim |
arcsin α(x) = |
1, то |
нужно най- |
|
|
x→ω α(x) |
|
|
|
ти |
|
lim α(x) |
|
= |
0 |
, |
что |
проще, |
чем найти |
x→ω β(x) |
|
|
|
0 |
|
lim |
|
arcsin α(x) |
. В этом и состоит суть метода. |
x→ω |
β(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 65. Найти предел
lim |
arcsin (x + 1) |
. |
|
x→−1 |
x3 + 1 |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
