п.2. По теореме 31 и первого замечательного предела имеем
|
lim |
tg x |
lim |
sin x |
· |
1 |
= 1. |
|
x |
x |
cos x |
|
x→0 |
= x→0 |
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
п.3. Обозначим через f(x) = arctg x и |
|
ϕ(y) = |
|
y |
. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример44 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim arctg x = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T.27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim ϕ (f(x)) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
T.32 и T.44 п.2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg y |
y |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg x |
|
|
|
|
|
|
|
arctg x |
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
→ |
0 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg (arctg x) |
|
|
→ |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
= |
|
Замена |
|
= lim |
arctg y |
= 1. |
õ |
|
|
|
|
) = y |
|
y 0 y |
|
|
α( |
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
β(x)
3.20.1.1. Метод “Первый замечательный предел”.
Суть метода “Первый замечательный предел” поясним на примере.
Пусть ω есть конечная или бесконечно удалённая предельная точка множества A Rk, α, β : A → R, бесконечно малые при x → ω и α 6= 0 вблизи ω. Найти
lim sin α(x).
x→ω
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
В этом примере имеется:
1.неопределённость вида 00 ;
2.функция синус, аргумент которой α(x) → 0
при x → ω.
Словами “Организовать первый замечательный предел” обозначим следующую последовательность действий:
|
|
|
|
sin α(x) |
|
0 |
|
|
|
|
sin α(x) α(x) |
|
lim |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
→ |
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
→ |
ω |
|
|
· β(x) |
|
|
|
|
β(x) |
|
|
|
|
|
|
|
α(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Так |
|
как |
|
lim |
sin α(x) |
= |
|
1, то нужно |
|
най- |
|
|
|
|
|
x→ω |
α(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ти |
lim |
α(x) = |
0 |
, |
что |
проще, |
чем |
найти |
|
x→ω β(x) |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
sin α(x) |
. В этом и состоит суть метода. |
x→ω |
β(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 63. Найти предел
lim |
sin (x − 1) |
. |
x→1 |
x2 − 1 |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 63 Найти предел |
|
|
lim |
sin (x − 1) |
. |
x→1 |
x2 − |
1 |
|
Решение.
Шаг 1. Определите вид неопределённости. Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 63 Найти предел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
sin (x − 1) |
. |
|
|
|
Решение. |
x→1 |
|
|
x2 − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin (x |
− |
1) |
|
0 |
|
|
|
lim |
|
|
2 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
− |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заменяя x на 1 в формуле |
sin (x−1) |
, получим |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2−1 |
|
|
0 |
. ( Обоснование правильности этого дей- |
ствия будет в разделе "Непрерывные функ- |
ции") . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Шаг 2. Выберите метод решения. Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 63 Найти предел lim |
sin (x−1). |
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 |
|
|
x2−1 |
|
|
|
|
|
|
sin (x |
− |
1) |
|
|
0 |
|
3.20.1.1 |
|
|
sin (x |
− |
1) |
|
x |
− |
1 |
10.17 |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
= |
|
= |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 |
x2 − 1 |
|
|
0 |
|
|
|
x→1 |
x − 1 |
|
|
· x2 − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
sin (x − 1) |
· |
|
x − 1 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
→ |
1 x |
− |
1 |
|
(x |
− |
1)(x + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin (x |
− |
1) 1 |
|
3 |
.20.1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· x + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
→ |
1 |
|
x |
− |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Метод решения:"Первый замечательный предел", α(x) = x − 1 → 0 при x → 1. Организуем первый замечательный предел.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 64. Найти предел
lim 1 − cos x.
x→0 x2
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
