ТРЕНАЖЁР Найти предел
|
|
√3 |
|
|
|
+ a |
|
lim |
|
xn − a3 |
|
|
|
|
|
|
√xn + b2 − b |
|
x→0 |
ТРЕНАЖЁР Найти предел
|
√3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
x |
n |
+ ta |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
− t√ |
a |
|
|
|
|
|
x→0 |
√3 xn + sb − s√3 b |
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА Предел функции (без привлечения замечательных пределов).
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА Предел функции и последовательности (без привлечения замечательных пределов).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
3.20.Замечательные пределы.
Этот раздел посвящён двум видам пределов, которые получили названия первый и второй замечательные пределы. Каждый из замечательных пределов имеет несколько следствий, которые также будут рассмотрены в этом раз-
деле.
Замечательные пределы и их следствия положены в основу соответствующих методов на-
хождения пределов (раскрытия неопределённостей).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
3.20.1. Первый замечательный предел и его следствия.
Пусть ω конечная или бесконечно удалённая предельная точка множества A Rk. Пусть, далее, α : A → B, B R бесконечно малая при x → ω и α 6= 0 вблизи ω.
Теорема 42. Первым замечательным пределом называют
lim sin α(x) = 1, где α(x) → 0 при x → ω.
x→ω α(x)
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство. п.1. Сначала покажем, что
lim sin x = 1.
x→0 x
При решении примера 39 вторым способом мы доказали, что для всех x −π2 , 0! 0, π2 ! имеют место неравенства
cos x < sinxx < 1.
Но lim cos x = 1 (см. пример 40), значит, по
x→0
теореме 36 о предельном переходе в неравен-
ствах можем заключить, что lim sin x = 1.
x→0 x
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
= |
Замена |
|
= lim sin y = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
y = α(x) |
y 0 y |
|
|
|
→ |
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Теорема 43. Первым следствием первого замечательного предела называют
lim arcsin α(x) = 1, где α(x) → 0 при x → ω.
x→ω α(x)
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство. п.1. Обозначим через f(x) = arcsin x и ϕ(y) = siny y. Тогда
|
Пример 43 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim arcsin x = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
= |
lim ϕ (f(x)) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T.27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
T.32 и T. 42 п.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
y |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
0 |
|
y |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
→ |
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin x |
|
|
|
arcsin x |
|
= lim |
|
= lim |
|
= 1 |
|
|
x |
→ |
0 |
|
x |
→ |
0 |
|
|
|
|
sin (arcsin x) |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
= |
|
Замена |
|
= lim |
arcsin y |
= 1. |
õ |
|
|
|
|
) = y |
|
y 0 y |
|
|
α( |
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Теорема 44. Вторым следствием первого замечательного предела называют
lim arctg α(x) = 1, где α(x) → 0 при x → ω.
x→ω α(x)
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство. п.1. Заметим, что
lim sin x = 0, lim cos x = 1
x→0 x→0
(см. примеры 39 и 40) и тогда, в силу теоремы 32, имеем
|
|
|
|
lim tg x = lim |
sin x |
= 0. |
|
x→0 |
x→0 cos x |
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
