3.19.3.Метод "Сократить на доминанту более высокого порядка роста".
Метод применяется для раскрытия неопределённости вида ∞∞! при x → ∞.
Суть метода "Сократить на доминанту более высокого порядка роста":
1.В числителе и знаменателе выделяем доминанты;
2.Делим числитель и знаменатель на доми-
нанту более высокого порядка роста.
После этих действий неопределённость исчезает.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 58. Найти предел
lim
3x − 2x
x→+∞ 3x + 2x
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Решение
lim
3x − 2x
x→+∞ 3x + 2x
|
|
x |
|
|
2 |
x |
|
|
|
|
lim |
3 |
1 − |
3 |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= x→+∞ 3x 1 + |
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
x |
|
|
|
lim |
|
|
1 − |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= x→+∞ 1 + |
2 x = 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
= 0 (см. пример 50).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 59. Найти
lim x + 1.
x→∞ x
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Решение. Функции f(x) = x + 1 и g(x) = x бесконечно большие одного порядка роста при x → ∞. Для раскрытия этой неопределённости воспользуемся приёмом: в числителе и знаменателе выделим доминанты при x → ∞. Тогда получим
x + 1 |
|
∞ |
|
|
x |
1 + x1 |
|
|
|
xlim |
|
|
|
|
= |
|
= xlim |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→∞ |
x |
|
|
∞ |
→∞ |
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
1 + |
|
|
= 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
т.к. lim |
1 |
= 0, |
(см. пример 53). |
|
|
|
|
|
x→∞ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
3.19.4. Об отношении бесконечно малых функций.
Пусть ω конечная или бесконечно удалённая предельная точка множества A Rk. Пусть, далее, f, g : A → B, A Rk, B R бесконечно малые при x → ω и f 6= 0, g 6= 0 вблизи ω.
|
|
|
|
|
1 |
|
|
∞ , |
|
|
|
x ω g(x) |
x ω |
1 |
|
|
x ω g(x) |
Так как lim |
f(x) |
= lim |
|
|
g(x) |
= |
|
то о пределе lim |
f(x) |
в общем слу- |
|
|
|
|
|
∞ |
|
→ |
|
→ |
|
|
|
→ |
|
|
|
|
f(x) |
|
|
чае, без дополнительной информации о функциях f и g, ничего определённого сказать нельзя. В этом случаи говорят о неопре-
делённости вида 00 . Раскрыть неопределённость вида 00 означает: в каждом конкретном случае, в зависимости от заданных бесконечно малых при x → ω функциях f и g, решить вопрос о пределе частного функций f и g при x → ω.
Рассмотрим некоторые методы раскрытия неопределённости вида
00 .
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
3.19.4.1. Метод Безу.
Обозначим через Pn и Qm - многочлены степени n и m, соответственно. Пусть x0 есть корень многочленов Pn и Qm, т.е. Pn(x0) = 0 и Qm(x0) = 0. Найти предел
|
|
|
Pn(x) |
0 |
|
lim |
|
= |
|
|
. |
|
|
|
x |
→ |
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
Qm(x) |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Так как x0 есть корень многочленов Pn и Qm, то их, в силу теоремы Безу, можно записать в виде:
Pn(x) = (x − x0)pn−1(x),
Qm(x) = (x − x0)qm−1(x).
Многочлены pn−1 и qm−1 однозначно определяются с помощью процесса деления углом многочленов Pn и Qm на x −x0, соответственно. Тогда
lim |
Pn(x) |
= |
|
0 |
|
= |
lim |
(x − x0)pn−1(x) |
= |
lim |
pn−1(x) |
. |
Qm(x) |
|
x→x0 |
|
0 |
|
x→x0 |
(x − x0)qm−1(x) |
|
x→x0 |
qm−1(x) |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Вышеописанный приём раскрытия неопреде-
лённости вида 00 , основанный на теореме Безу, будем называть методом Безу.
Если же при нахождении предела lim pn−1(x)
x→x0 qm−1(x)
появится снова неопределённость вида 00 , то применим метод Безу ещё раз.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 60. Найти предел
lim |
x2 + 2x − 8 |
x→2 |
x3 − 8 |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
