Так как функция f есть бесконечно большая более высокого порядка роста, чем функция g при x → ω, то
|
|
|
g(x) |
|
|
|
|
|
g(x) |
|
lim |
|
= 0 и lim |
1 |
|
|
|
= 1. |
|
|
x |
→ |
ω |
|
x |
→ |
ω |
|
|
|
|
|
|
|
f(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− f(x) |
|
Тогда, в силу теоремы 39, имеем
lim (f(x) − g(x)) = ±∞.
x→ω
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Итак, в силу теоремы 41, только тогда, когда бесконечно большие функции f и g эквивалентные при x → ω, возникают трудности с нахождением предела разности (f(x) − g(x)).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Покажем, на примерах, некоторые практические приёмы раскрытия неопределённостей вида (∞ − ∞).
Пример 56. Найти
|
|
√ |
|
√ |
|
! . |
(3.8) |
x |
lim |
x + a |
x |
+ |
∞ |
|
|
− |
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
√ √
Решение. Функции f(x) = x + a и g(x) = x бесконечно большие одного порядка роста при x → +∞. Для раскрытия этой неопределённости воспользуемся приёмом, основанном на формуле:
a2 − b2 = (a − b)(a + b).
Сомножители (a−b) и (a+ b) называют сопряжёнными.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Тогда получим
|
√ |
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + a |
|
x |
|
∞ − ∞ |
|
|
10.17 |
|
|
|
x + |
1 |
− |
|
|
) |
= |
|
|
|
lim |
|
|
|
|
= ( |
|
|
|
|
|
|
|
→ ∞ |
|
|
|
|
|
|
( |
x + a |
) − x |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
lim |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ |
√x + a + |
√x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
a |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= x→+∞ |
√x + a + √x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= a · x→+∞ √x + a + √x |
т.к. функция h(x) = √x + a + √x бесконечно большая при x → +∞.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Приём, который мы использовали при решении примера 56, будем называть:
“Умножить на сопряжённое”.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 57. Найти |
√3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
√3 |
|
! . |
(3.9) |
x |
lim |
x + a |
x |
+ |
∞ |
|
|
− |
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
√ √
Решение. Функции f(x) = 3 x + a и g(x) = 3 x бесконечно большие одного порядка роста при x → +∞. Для раскрытия этой неопределённости воспользуемся приёмом, основанном на формуле:
a |
3 |
− b |
3 |
|
|
2 |
2 |
|
|
= (a − b) a |
|
+ ab + a . |
Сомножители (a −b) и |
a2 + ab + a2! называют |
сопряжёнными. |
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Тогда получим
|
|
|
|
|
√3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
√3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + a |
|
|
x |
|
|
|
|
∞ − ∞ |
|
10.18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x + a) − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√3 |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
x |
→ |
+ |
∞ |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
+ |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s(x + a) |
|
|
|
|
sx(x + a) + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
→ |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ s(x + a) |
|
|
|
sx(x + a) + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= a·x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
→ ∞ |
|
s(x + a) |
|
|
|
sx(x + a) + |
|
|
|
|
√3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т.к. |
|
функция |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s(x + a) |
|
|
|
sx(x + a) + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
бесконечно большая при x → +∞.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Приём, который мы использовали при решении примера 57, будем называть:
“Умножить на сопряжённое”.
ТРЕНАЖЁР Найти предел
|
lim |
s |
ax |
m |
+ bx |
k |
+ c |
− |
s |
x |
+ |
|
|
|
dx |
|
|
→ ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
