mathanaliz

Фиксируем ε0 = |a2| > 0.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Определение 81. Пусть функции f и g бесконечно большие при x → ω, причём g 6= 0 вблизи ω.

Если lim f(x) равен нулю, то говорят, что

x→ω g(x)

функция g бесконечно большая более высокого порядка роста, чем функция f при x → ω (или функция f бесконечно большая более низкого порядка роста, чем функция g при x → ω ).

Тот факт, что функция f бесконечно большая более низкого порядка роста, чем функция g

при x → ω записывают так: f g при x → ω.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Определение 82. Пусть функции f и g бесконечно большие при x → ω, причём g 6= 0 вблизи ω.

Если lim f(x) = 1, то говорят, что функции f

x→ω g(x)

и g эквивалентные при x → ω и пишут f g

при x → ω.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пусть a R, a > 1 произвольное.

Определение 83. Функции вида:

y = ln ln x, y = ln x, y = x, y = ax, y = xx

назовем образующими при x → +∞.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Можно показать, что для любых

k, l, m, r, s, i, j, p, q, µ, ν N

имеет место шкала порядков роста функций:

k r i

··· (ln ln x)m ··· (ln x)s ··· xj ···

··· (ax)pq ··· (xx)µν ··· .

при x → +∞.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Замечания к шкале порядков роста функций:

1.Шкала содержит лишь малую часть бесконечно больших функций и может быть расширена.

2.Очевидно, что из двух функций, относящихся к одному узлу шкалы, большим поряд-

ком роста обладает функция с большим пока-

зателем.

1 3

Например: x x2, (ln x)2 (ln x)4 и т.д.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Определение 84. Если функцию f можно представить в виде произведения образующей функции в рациональной степени и ограниченной, отделимой от нуля вблизи +∞ функции, то образующую функцию в рациональной степени назовём доминантой функции f (от лат. dominantis - важнейшая часть чего либо).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Замечания:

1.Если функция f имеет доминанту, то функция f бесконечно большая при x → +∞.

2.Не всякая функция имеет доминанту.

3.Зная доминанты бесконечно больших функций при x → +∞ их легко сравнивать между

собой по порядку роста при x → +∞, опираясь при этом на шкалу порядков роста функций при x → +∞.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

3.19.2. О разности бесконечно больших функций.

Пусть ω конечная или бесконечно удалённая предельная точка множества A Rk. Пусть, далее, f, g : A → B, A Rk, B R

о пределе разности двух эквивалентных бесконечно больших числовых последовательностей в общем случае ничего определённого сказать нельзя. В этом случаи говорят, что имеет место неопределённость вида (∞ − ∞) . Но последовательность это частный случай функции и, следовательно, о пределе разности двух бесконечно больших при x → ω в общем случае тоже ничего определённого сказать нельзя. В этом случаи также говорят, что имеет место неопределённость вида (∞ − ∞) . Раскрыть неопределённость вида (∞ − ∞) означает: в каждом конкретном случае, в зависимости от заданных бесконечно больших при x → ω функций f и g, решить вопрос о пределе разности (f(x) − g(x)) при x → ω.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

нечно большая более высокого порядка роста, чем функция g при x → ω, то

lim (f(x) − g(x)) = ±∞.

x→ω

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit