mathanaliz

Теорема 38. Если lim f(x) = ±∞ и функция

x→ω

g ограниченная вблизи ω, то

lim (f(x) + g(x)) = ±∞.

x→ω

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Доказательство.

( (xn), xn A \ {ω}, и xn → ω :

f(xn) + g(xn) → ±∞) .

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Из выделенного синим цветом следует, по

определению Гейне, что lim (f(x) + g(x)) =

x→ω

±∞.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Теорема 39. Если lim f(x) = ∞ и

x→ω

lim g(x) = a 6= 0, то

x→ω

lim (f(x) · g(x)) = ∞.

x→ω

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Доказательство.

( (xn), xn A \ {ω}, и xn → ω :

f(xn) · g(xn) → ∞) .

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Фиксируем произвольную (xn), xn A \{ω}, и xn → ω.

(f(xn) · g(xn) → ∞) .

Из выделенного синим цветом следует, по

∞.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

3.19.1. О сравнении бесконечно больших функций.

Пусть ω конечная или бесконечно удалённая предельная точка множества A Rk. Пусть f, g : A → B, A Rk, B R бесконечно большие при x → ω, причём g 6= 0 вблизи ω. Из теории последовательностей мы знаем, что о пределе частного двух бесконечно больших числовых последовательностей в общем случае ничего определённого сказать нельзя. В этом случаи говорят, что

имеет место неопределённость вида ∞∞ . Но последовательность это частный случай функции и, следовательно, о пределе частного двух бесконечно больших при x → ω в общем случае ничего определённого сказать нельзя. В этом случаи также говорят, что имеет

место неопределённость вида ∞∞ . А раскрыть неопределённость

вида ∞∞ означает: в каждом конкретном случае, в зависимости от

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Определение 80. Говорят, что функции f и g, бесконечно большие одного порядка роста

при x → ω, если h1, h2 R и Uµ(ω) такие, что

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Теорема 40. Пусть функции f и g бесконечно большие при x → ω.

Если lim f(x) конечен и отличен от нуля,

x→ω g(x)

то функции f и g бесконечно большие одного порядка роста при x → ω.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Доказательство.

(f и g бесконечно большие одного порядка роста при x → ω)

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit