mathanaliz

Определение 78. Функция f называется отделимой от нуля вблизи ω, если

M R, M > 0, такое, что выполняется неравенство 0 < M < |f| вблизи ω.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Теорема 35. Если функция f при x → ω имеет конечный, отличный от нуля предел, то она отделима от нуля вблизи ω.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Доказательство.

Фиксируем ε0 = |a2| > 0 и M = |a2|.

Êîøè

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пусть ϕ, f, ψ : A → B, A Rk, B R и

пусть ω конечная или бесконечно удалённая предельная точка множества A.

Определение 79. Говорят, что выполняются неравенства ϕ < f < ψ вблизи ω, если

Uµ(ω) такая, что x A ∩ Uµ(ω) выполняются неравенства ϕ(x) < f(x) < ψ(x).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Теорема 36. Если вблизи ω выполняются неравенства ϕ < f < ψ и

lim ϕ(x) = lim ψ(x) = a,

x→ω x→ω

то

lim f(x) = a.

x→ω

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

( (xn), xn A \ {ω}, и xn → ω : f(xn) → a) .

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Из выделенного синим цветом следует, по

определению Гейне, что lim f(x) = a.

x→ω

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

3.19. О неопределённостях.

Пусть f, g : A → B, A Rk, B R и пусть ω конечная или бесконечно удалённая предельная точка множества A.

Теорема 37. Если lim f(x) = ±∞ и

x→ω

lim g(x) = ±∞, то

x→ω

lim (f(x) + g(x)) = ±∞.

x→ω

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Доказательство.

( (xn), xn A \ {ω}, и xn → ω :

f(xn) + g(xn) → ±∞) .

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Фиксируем произвольную (xn), xn A \ {ω}, и xn → ω.

(f(xn) + g(xn) → ±∞) .

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit