Фиксируем произвольную (xn), xn A \{ω}, и xn → ω.
|
lim |
|
Гейне |
= |
x |
→ |
ω f(x) = a |
|
|
|
|
|
Гейне |
lim |
= |
x→ω |
ϕ(x) = b |
|
→ a)
14
=
→ b)
f(xn)
→
ϕ(xn)
Из выделенного синим цветом следует, по
определению Гейне, что lim |
f(x) |
= a. |
x→ω |
ϕ(x) |
b |
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
3.18. О переходе к пределу в неравенствах.
Пусть f : A → B, A Rk, B R и пусть ω конечная или бесконечно удалённая предельная точка множества A.
Определение 73. Говорят, что выполняется неравенство f > 0 (f ≥ 0) вблизи ω,, если
Uµ(ω) такая, что x A∩Uµ(ω) выполняется неравенство f(x) > 0 (f(x) ≥ 0).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 74. Говорят, что выполняется неравенство f < 0 (f ≤ 0) вблизи ω, если
Uµ(ω) такая, что x A∩Uµ(ω) выполняется неравенство f(x) < 0 (f(x) ≤ 0).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Теорема 33. Если |
f > 0 (f ≥ 0) вблизи ω и |
x→ω |
то |
a |
≥ . |
lim f(x) = a, |
|
0 |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство.
Фиксируем произвольную последовательность
(xn), xn A \ {ω}, и xn → ω.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(f > 0 вблизи |
|
|
|
|
|
73 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( U (ω) т.ч. |
|
|
x |
|
A |
|
U (ω) |
: |
|
f(x) > 0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∩ |
|
δ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x |
n |
|
|
|
ω) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( N = N(δ) |
|
|
N |
т.ч. |
|
|
n > N : x |
n |
|
|
|
U |
|
(ω)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Гейне |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(f(x ) |
|
|
|
a) |
|
|
|
|
|
lim f(x) = a = |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n > N : f(xn) > 0 |
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a |
|
0). |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x ) |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 75. Говорят, что выполняется неравенство |f| < M (|f| ≤ M) вблизи ω,
если Uµ(ω) такая, что x A ∩ Uµ(ω) выполняется неравенство |f(x)| < M (|f(x)| ≤ M).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 76. Функция f называется
ограниченной вблизи ω, если M R такое, что выполняется неравенство |f| ≤ M вблизи ω.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Теорема 34. Если функция f при x → ω имеет конечный предел, то она ограничена вблизи ω.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство. |
R |
|
|
|
x→ω |
|
lim f(x) = a |
|
=? |
(f ограничена вблизи ω) 76 |
M R и Uµ(ω) такие, что x A ∩ Uµ(ω) |
: |f(x)| ≤ M . |
Положим ε = 1, M = 1 + |a|.
x→ω |
|
R |
Êîøè |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim f(x) = a |
|
= |
|
|
|
|
Uµ(ε)(ω) : |
|
|
|
|
|
< ε = |
|
Uµ(ε)(ω) такая, что |
x |
|
A |
∩ |
| |
f(x) |
− |
a |
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x A ∩ Uµ(1)(ω) : |
|f(x)| = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.13
= |(f(x) − a) + a| ≤ |f(x) − a| + |a|< 1 + |a| = M .
Из выделенного синим цветом следует, по определению 76, что функция f ограничена вблизи ω. 
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 77. Говорят, что выполняется неравенство 0 < M < |f| вблизи ω, если
Uµ(ω) такая, что x A ∩ Uµ(ω) выполняется неравенство 0 < M < |f(x)|.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
