mathanaliz

3.16.Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями.

Пусть f : A → B, A Rk, B R и ω есть конечная или бесконечно удалённая предельная точка множества A.

Определение 72. Говорят, что f 6= 0 вблизи

ω, если Uµ(ω) такая, что x A ∩ Uµ(ω) : f(x) 6= 0.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Теорема 29. Если функция α : A → B бесконечно малая при x → ω и α 6= 0 вблизи ω, то функция f = α1 - бесконечно большая при x → ω. Обратно, если функция f : A → B бесконечно большая при x → ω и f 6= 0 вблизи ω, то функция α = f1 - бесконечно малая при x → ω.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

( (xn), xn A \ {ω}, и xn → ω : f(xn) → ∞) .

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Из выделенного синим цветом следует, по

определению Гейне, что lim f(x) = ∞.

x→ω

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

( (xn), xn A \ {ω}, и xn → ω : α(xn) → 0) .

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Фиксируем произвольную (xn), xn A \{ω}, и xn → ω.

Из выделенного синим цветом следует, по

определению Гейне, что lim α(x) = 0.

x→ω

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пример 53. Показать, что n N:

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Решение.

В примере 51 мы показали, что n N:

lim xn = +∞,

x→+∞

т.е. функция f(x) := xn бесконечно большая при x → +∞. Следовательно, в силу теоре-

бесконечно малой при x → +∞.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пример 54. Показать, что

lim ax = +∞ (0 < a < 1).

x→−∞

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit