Определение 67. Предел функции f : A → B
при x → ω равен минус бесконечности, если
ε > 0 Uδ(ω) такая, что x A ∩ Uδ (ω) : f(x) < −ε.
Тот факт, что предел функции f : A → B при x → ω равен минус бесконечности, записывают так:
lim f(x) = −∞ или f(x) → −∞ при x → ω.
x→ω
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
ТРЕНАЖЁР
f : A → R, A Rn,
lim f(x) = − ∞
x→x0
ТРЕНАЖЁР
f : A → R, A R,
lim f(x) = − ∞
x→x0
ТРЕНАЖЁР
f : A → R, A Rn,
lim f(x) = − ∞
x→∞
ТРЕНАЖЁР
f : A → R, A R,
lim f(x) = − ∞
x→∞
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
ТРЕНАЖЁР
f : A → Rm, A R,
lim f(x) = ∞
x→+ ∞
ТРЕНАЖЁР
f : A → R, A R,
lim f(x) = ∞
x→+ ∞
ТРЕНАЖЁР
f : A → R, A R,
lim f(x) = + ∞
x→+ ∞
ТРЕНАЖЁР
f : A → R, A R,
lim f(x) = + ∞
x→− ∞
ТРЕНАЖЁР
f : A → Rm, A R,
lim f(x) = ∞
x→− ∞
ТРЕНАЖЁР
f : A → R, A R,
lim f(x) = ∞
x→− ∞
ТРЕНАЖЁР
f : A → R, A R,
lim f(x) = − ∞
x→+ ∞
ТРЕНАЖЁР
f : A → R, A R,
lim f(x) = − ∞
x→− ∞
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 68. Функция f : A → B называется бесконечно большой при x → ω, если
x→ω |
∞ |
x→ω |
±∞ |
lim f(x) = |
|
или lim f(x) = . |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ПО КОШИ Иллюстрация
Движком "M" фиксируем ε = M > 0.
δ1 > 0 и δ2 > 0 – задают максимальный интервал, удовлетво-
|
|
|
|
|
|
|
ряющий |
условию: |
x |
(3 − δ1, 3 + δ2) |
выполняется неравенство |
1 |
> M. |
|
f(x) = |
|
|
|
|
(x−3)2 |
|
|
|
Значения δ1 > 0 и δ2 > 0 можно найти автоматически или перемещая вертикальные оранжевые линии мышкой с нажатой левой кнопкой.
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ПО КОШИ Иллюстрация
lim (x − 3)3 + 10 = ∞.
x→∞
Движком "M" фиксируем ε = M > 0.
Значение δ = N > 0 – задаёт максимальный интервал, удо-
влетворяющий условию: |
x |
|
(δ, ∞) |
выполняется неравенство |
f(x) = (x − 3)3 + 10 > M. |
|
Значение δ = N > 0 можно найти автоматически или перемещая вертикальную оранжевую линию мышкой с нажатой левой кнопкой.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определения бесконечных пределов функции f : A → B на языке последовательностей:
Определение 69. Предел функции f : A → B при x → ω равен бесконечности, если
(xn), xn A \ {ω} и xn → ω : f(xn) → ∞.
Определение 70. Предел функции f : A → B при x → ω равен плюс бесконечности, если
(xn), xn A \ {ω} и xn → ω : f(xn) → +∞.
Определение 71. Предел функции f : A → B при x → ω равен минус бесконечности, если
(xn), xn A \ {ω} и xn → ω : f(xn) → −∞.
Определения 65, 66, 67 называют “определениями Коши”, а определения 69, 70, 71 “определениями Гейне”. Можно показать эквивалентность соответствующих определений по Коши и Гейне (см. формулировку и доказательство теоремы 26).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 51. Показать, что
lim ax = +∞, (a > 1).
x→+∞
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Решение. Фиксируем произвольное ε > 0.
1. Если 0 < ε ≤ 1, то, полагая δ = 1, получим, что x > δ = 1 : ax > a > 1 ≥ ε (см.
рис. 3.10, случай a > 1).
2. Если же ε > 1, то, учитывая, что
(a |
x |
3.2.5 |
|
> ε) (x > loga ε) , |
положим δ = loga ε. |
Тогда x > δ |
: ax > ε. |
Из выделенного синим цветом следует, по
определению 66, что |
lim |
ax |
= +∞. |
x |
+ |
∞ |
|
|
→ |
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 52. Показать, что n N:
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Решение.
|
lim xn = + |
|
66 |
|
ε > 0 |
δ > 0 такое, что |
|
+ |
|
∞ |
|
|
|
x |
∞ |
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ((x > δ) = (xn
Фиксируем n N и произвольное ε > 0. Учитывая, что
(x |
n |
> ε) |
3.2.3 |
n |
|
|
|
|
|
x > √ε! , |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
положим δ = √ε. Тогда |
x > δ : x > ε. Из |
выделенного синим цветом следует, по опре-
x |
+ |
∞ |
делению 66, что |
lim |
xn = + . |
|
→ ∞ |
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
