Доказательство. Необходимость.
Обозначим через α(x) = f(x) − a.
Покажем, по определению Гейне, что α(x) есть бесконечно малая при x → ω. Фиксируем произвольную (xn), xn A \ {ω}, и xn → ω.
f(x) = a + α(x) |
|
Гейне |
f(xn) = a + α(xn) |
|
=7 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim f(x) = a |
|
|
f(x |
) |
|
a |
|
|
x ω |
|
|
n |
|
→ |
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(xn) = a + α(xn) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
α(x ) |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из выделенного синим цветом следует, по
определению Гейне, что lim α(x) = 0.
x→ω
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Достаточность. Фиксируем произвольную
(xn), xn A \ {ω}, и xn → ω.
f(x) = a + α(x) |
|
Гейне |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
lim α(x) = 0 |
|
|
x |
→ |
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(xn) = a + α(xn)
α(xn) → 0
Из выделенного синим цветом следует, по
определению Гейне, что lim f(x) = a.
x→ω
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 50. Показать, что
lim ax = 0, (0 < a < 1).
x→+∞
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Решение. Фиксируем произвольное ε > 0.
1. Если ε ≥ 1, то, полагая δ = 1, получим, чтоx > δ = 1 : ax < 1 ≤ ε (см. рис. 3.10, случай
0 < a < 1).
2. Если же 0 < ε < 1, то, учитывая, что
(a |
x |
3.2.5 |
|
< ε) (x > loga ε) , |
положим δ = loga ε. |
Тогда x > δ |
: ax < ε. |
Из выделенного синим цветом следует, по
определению 61, что lim ax = 0.
x→+∞
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
3.15.Бесконечно большие отображения
ифункции.
Пусть f : A → B, A Rk, B Rm и ω есть конечная или бесконечно удалённая предельная точка множества A.
Определение 64. Предел отображения f :
A → B при x → ω равен бесконечности, если
Uε(∞) Uδ(ω) такая, что x A ∩ Uδ (ω) : f(x) Uε(∞).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Тот факт, что предел отображения f при x → ω равен бесконечности, записывают так:
lim f(x) = ∞ или f(x) → ∞ при x → ω.
x→ω
ТРЕНАЖЁР
f : A → Rm, A Rn,
lim f(x) = ∞
x→x0
ТРЕНАЖЁР
f : A → Rm, A R,
lim f(x) = ∞
x→x0
ТРЕНАЖЁР
f : A → Rm, A Rn,
lim f(x) = ∞
x→∞
ТРЕНАЖЁР
f : A → Rm, A R,
lim f(x) = ∞
x→∞
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пусть f : A → B, A Rk, B R и ω есть конечная или бесконечно удалённая предельная точка множества A.
Определение 65. Предел функции f : A → B
при x → ω равен бесконечности, если
ε > 0 Uδ(ω) такая, что x A ∩ Uδ (ω) :
|f(x)| > ε.
Тот факт, что предел функции f : A → B при x → ω равен бесконечности, записывают так:
lim f(x) = ∞ или f(x) → ∞ при x → ω.
x→ω
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
ТРЕНАЖЁР
f : A → R, A Rn,
lim f(x) = ∞
x→x0
ТРЕНАЖЁР
f : A → R, A R,
lim f(x) = ∞
x→x0
ТРЕНАЖЁР
f : A → R, A Rn,
lim f(x) = ∞
x→∞
ТРЕНАЖЁР
f : A → R, A R,
lim f(x) = ∞
x→∞
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пусть f : A → B, A Rk, B R и ω есть конечная или бесконечно удалённая предельная точка множества A.
Определение 66. Предел функции f : A → B
при x → ω равен плюс бесконечности, если
ε > 0 Uδ(ω) такая, что x A ∩ Uδ (ω) : f(x) > ε.
Тот факт, что предел функции f : A → B при x → ω равен плюс бесконечности, записывают так:
lim f(x) = +∞ или f(x) → +∞ при x → ω.
x→ω
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
ТРЕНАЖЁР
f : A → R, A Rn,
lim f(x) = + ∞
x→x0
ТРЕНАЖЁР
f : A → R, A R,
lim f(x) = + ∞
x→x0
ТРЕНАЖЁР
f : A → R, A Rn,
lim f(x) = + ∞
x→∞
ТРЕНАЖЁР
f : A → R, A R,
lim f(x) = + ∞
x→∞
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
