Периодические функции.
Функция f : R −→ R называется периодической, если существует такое число T, (T 6= 0), что для всех x R выполняется равенство
f(x + T ) = f(x), |
(10.22) |
при этом число T называют периодом |
функции f. |
Очевидно, что если T – период функции f, то её периодом также будет nT, где n – любое целое число. Обычно за период T принимают наименьшее положительное число, удовлетворяющее равенству (10.22).
Продолжение на следующей странице.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Отметим следующие свойства периодических функций:
1.Сумма, разность, произведение и частное периодических функций периода T есть периодические функции периода T.
2.Если функция f имеет период T, то функция g, определяемая формулой
x R : g(x) := f(ax),
периодическая с периодом Ta .
3. Если f периодическая функция периода T, то равны любые два интеграла от этой функции, взятые по промежутку длины T.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Чётные и нечётные функции.
Пусть a положительное число или символ
+∞.
Функция f : (−a, a) −→ R называется чётной, если
x (−a, a) : f(−x) = f(x).
Функция f : (−a, a) −→ R называется нечётной, если
x (−a, a) : f(−x) = −f(x).
ПРИМЕРЫ ЧЁТНЫХ И НЕЧЁТНЫХ ФУНКЦИЙ 
Приведены графики некоторых чётных и нечётных функций. Графики чётных функций симметричны относительно оси ординат. Графики нечётных функций симметричны относительно начала координат.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
sin α |
− |
sin β = 2 cos |
α + β |
sin |
α − β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
cos α |
− |
cos β = |
|
|
|
2 sin |
α + β |
sin |
|
α − β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
2 |
|
|
|
|
2 |
π π |
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
α > 0, при α |
|
|
|
cos α = + 1 |
− |
sin |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
α > 0, при α |
(0, π) |
|
sin α = + 1 − cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 α = |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + tg2 α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10.23)
(10.24)
(10.25)
(10.26)
(10.27)
(10.28)
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
|
|
|
|
|
|
|
π |
cos x = sin x + |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x = − sin (x + π) |
|
|
|
cos x = |
|
|
|
|
3π |
|
|
|
|
|
|
sin x + |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − cos x = 2 sin |
2 x |
|
|
|
2 |
|
sin 2x = 2 sin x cos x |
sin2 x = |
1 |
|
(1 − cos 2x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
cos2 x = |
|
1 |
(1 + cos 2x) |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10.29)
(10.30)
(10.31)
(10.32)
(10.33)
(10.34)
(10.35)
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
cos x = − cos (x + π)
x R : | sin x| ≤ 1
(10.36)
(10.37)
(10.38)
(10.39)
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
10.7. Векторная алгебра.
Определение. Базис |
~ |
V3 |
называет- |
(~ı,~|, k) |
ся декартовым базисом, если он состоит из единичных взаимно ортогональных геометрических векторов.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение. Скалярным произведением двух ненулевых геометрических векторов ~a
~ |
~ |
и b |
называется число, обозначаемое (~a, b), рав- |
ное произведению их длин на косинус угла между ними, т.е.
|
(~a,~b) = ~a |
~b |
| · |
cos (~a ~b). |
|
|
|
| |
| · | |
|
~ |
|
|
Если хотя бы один из векторов ~a или |
ну- |
|
b |
левой, то скалярное произведение полагается равным нулю.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение. Косинусы углов между геометрическим вектором и осями декартовой системы координат, называются направляющими косинусами.
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Если ~a = a1~ı + a2~| + a3k = (a1, a2, a3), то |
cos (~a ~ı) = cos α = |
|
|
(a,~ı) |
= |
|
a1 |
; |
|
|
|~a| |
|
|~a| |
|
|
|
|
|
|
cos (~a ~|) = cos β = |
|
(~a,~|) |
= |
|
a2 |
; |
|
|
|~a| |
|
|~a| |
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
a3 |
|
|
cos (~a ~k) = cos γ = |
(~a, k) |
= |
|
. |
|
|
|~a| |
|
|
|
|
|
|
|~a| |
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение. Ортом ненулевого геометри-
ческого вектора ~a называется вектор a~0 = |~a~a|.
Очевидно, что орт вектора ~a сонаправлен с
вектором ~a, |a~0| = 1 и координаты орта вектора совпадают с его направляющими косинусами.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
