mathanaliz

n

X Cni an−ibi =

n

i=0

Cni an+1−ibi +

n

Cni an−ibi+1 =

=

X

X

i=0

i=0

n

n+1

=

X Cni an+1−ibi + X

i=0

n

i=1

= a

n+1

+

i

i 1

a

n+1 i i

+ b

n+1

.

X

Cn + Cn−

− b

i=1

Cnk

+ Cnk−1

n!

+

=

(k

=

= Ck

n+1

C

0

= Cn+1

= 1,

n+1

n+1

(10.1)

окончательно имеем

= an+1 +

n

X Cni +1an+1−ibi + bn+1 =

i=1

n+1

=

X

i=0

Для всех натуральных n > 2 имеет место неравен-

ство

v

2

n

u

√n

1

u

(10.2)

< u

−

u

u

un

−

1

Доказательство.

t

n

n

10.2

n

1!

+

√n

−

1!!

= 1 + n

√n

−

n(n

−

1)

2

n

n

1!

n

1!

+

+

>

√n

−

· · ·

+ √n

−

2

−

n(n

1)

n

1!

2

>

√n

−

2

n

v

2

u

√n

u

.

1 < u

−

u

u

1

un

−

t

•First

•Prev •Next

•Full Screen

•Close •Quit

Для всех натуральных n имеет место неравенство

n! >

n n

(10.3)

3

Доказательство.

Обозначим через p(n) неравенство, которое нужно

доказать.

Применим метод математической индукции.

I. При n = 1 неравенство (10.3) имеет место.

n3

!n .

III. Если неравенство (10.3) имеет место при n, то

для n + 1 имеем

II. n n

3

n + 1 n+1

3

n

5

n + 1 n+1

=

·

1

>

.

3

3

1 + n

•First •Prev

•Next

•Last

•Go Back

•Full Screen •Close •Quit

Для всех натуральных n имеет место неравен-

ство Бернулли

(10.4)

где x1, x2, . . . , xn – числа одного и того же зна-

ка, большие минус единицы.

Доказательство.

Обозначим через p(n) неравенство, которое

нужно доказать.

Применим метод математической индукции.

I. При n = 1, 2 неравенство (10.4) имеет место.

II. Пусть p(n) имеет место, т.е.

(1 + x1)(1 + x2) · · · (1 + xn) ≥ 1 + x1 + x2 + · · ·+ xn.

III. Если неравенство (10.4) имеет место при

n, то для n + 1 имеем

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Доказать, что если x > −1, то для всех нату-

(10.5)

причём знак равенства имеет место лишь при

Неравенство (10.5) есть следствие неравен-

На иллюстрации показаны графики функций f (x) = (1 + x)n (си-

При всех значениях n = 2, 3, . . . , 10, которое устанавливается

движком "n", синяя кривая всегда выше красной с единственной

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Доказать, что если 0 < |q| < 1, то для всех натураль-

|qn| < n

(1|q|

q

).

(10.6)

− | |

Неравенство (10.6) получается из следующей

1

=

1

n

10.5

n

1 +

1

>

q

q

−

|

| |

1

1

1

> n

1 .

q

−

q

−

|

|

|

|

q ).

− |

|

•First

•Prev

•Next

•Last

•Go Back •Full Screen

•Close •Quit

n

<

2

.

(10.7)

bn

Доказательство.

Так как b > 1, то

b

n

= (1 + (b −

n

10.2

1) + n(n − 1)(b

1))

=

= 1 + n(b

−

−

1)2 +

· · ·

+ (n

−

1)n >

2

> n(n − 1)

(b

1)2.

2

Тогда

nn <

2n

2 =

2

2.

b

n(n

− 1)(b − 1)

(n − 1)(b − 1)

•First

•Prev •Next

•Last