7.3.Дифференцирование композиции
отображений.
Теорема 124. Если отображение
f = (f1, f2, . . . , fk)T : X → Y
множества X Rn в множество Y Rk диффе-
ренцируемо во внутренней точке
x = (x1, x2, . . . , xn)T X, а отображение
g = (g1, g2, . . . , gm)T : Y → Rm
дифференцируемо во внутренней точке y = (f1(x), f2(x), . . . , fk(x))T Y , то
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
композиция g ◦ f : X → Rm этих отображений дифференцируема в точке x, причём
∂((g◦f)1,(g◦f)2,...,(g◦f)m)
∂(x1,x2,...,xn) (x) =
|
|
|
(7.3) |
|
∂(g1,g2,...,gm) |
(f(x)) · |
∂ f1,f2,...,fk! |
= |
|
|
(x). |
∂(y1,y2,...,yk) |
∂(x1,x2,...,xn) |
Доказательство |
этой теоремы почти полно- |
стью повторяет доказательство теоремы 76 и поэтому мы его опустим.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Случай 1.
Пусть n = 1, k - произвольное, m = 1.
d(g◦f)(x) dx =
|
∂g |
(f(x)) · |
∂ f1,f2,...,fk |
! |
= |
|
|
|
(x) = |
∂(y1,y2,...,yk) |
dx |
|
|
|
df1(x) |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
df |
2 |
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
· . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
(x) |
|
df |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 134. Заданы отображение
и функция g(x, y) = ex−2y. Вычислить матрицу Якоби композиции g ◦ f.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Решение. По теореме 124 имеем:
= |
ex−2y, 2ex−2y |
cos t |
|
= |
|
|
|
|
|
− |
|
· |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
esin t−2t3 cos t |
− |
6t2 . |
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Случай 2. Пусть n, k - произвольные, m = 1.
∂(g◦f)
∂(x1,x2,...,xn)(x) =
|
∂ g |
(f(x)) · |
∂ f1,f2,...,fk! |
= |
|
|
(x) = |
∂(y1,y2,...,yk) |
∂(x1,x2,...,xn) |
∂g(f(x)) ∂g(f(x)) |
= |
∂y1 |
∂y2 |
|
|
|
|
|
∂f |
1 |
(x) |
|
|
|
|
|
∂x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x1
∂f1(x) |
· · · |
∂f1(x) |
∂x2 |
∂xn |
∂f2(x) |
· · · |
∂f2(x) |
∂x2 |
∂xn |
. |
. |
. |
∂fk(x) |
· · · |
∂fk(x) |
∂x2 |
∂xn |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 135. Заданы отображение
f(t) = |
x(u, v) |
|
= |
u cos v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(u, v) |
|
|
u sin v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и функция g(x, y) = x2y −y2x. Вычислить матрицу Якоби композиции g ◦ f.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Решение. По теореме 124 имеем:
∂(g ◦ f)(u, v) =
∂(u, v)
= |
2xy |
|
y2, x2 |
|
2xy |
cos v |
u sin v |
|
= |
− |
− |
|
− |
|
|
|
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u cos v |
|
|
|
|
|
|
sin v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 3u2 sin v cos v(cos v − sin v),
u3(sin v + cos v)(1 − 3 sin v cos v) ! .
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
7.4.Дифференцирование обратного
отображения.
Теорема 125. Пусть
f = (f1, f2, . . . , fn)T : Uε(x) → Uδ(y)
отображает ε - окрестность Uε(x) Rn
окрестность Uδ(y) Rn точки y = f(x). f непрерывно в точке x = (x1, x2, . . . , xn)T
ет обратное отображение
g : Uδ(y) → Uε(x),
непрерывное в точке y = (y1, y2, . . . , yn)T .
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Если при этом отображение f дифференциру-
емо в точке x и матрица Якоби |
|
|
∂(f1,f2,...,fn) |
(x) |
|
имеет |
обратную |
|
|
|
|
|
∂(x1,x2,...,xn) |
|
|
|
−1 |
|
|
∂(f1,f2,...,fn) |
|
, то обратное |
отображе- |
|
|
|
|
|
|
(x) |
∂ |
( |
x1,x2,...,xn |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ние g : Uδ(y) → Uε(x) дифференцируемо в точке y и справедливо равенство
∂g1, g2, . . . , gn!
∂y1, y2, . . . , yn!(y) =
|
∂ f1, f2, . . . , fn |
! |
−1 |
|
|
|
|
|
|
(x) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
, . . . , x |
n |
! |
|
|
∂ x |
, x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство этой теоремы в данном курсе не рассматривается.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
