Выражение
|
1 |
|
1 |
· · · |
|
1 |
|
|
|
|
a2 |
an |
|
|
a1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
a |
2 |
|
a |
2 |
|
|
a |
|
|
· · · |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. . |
|
· |
. . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
a |
k |
|
a |
k |
|
|
a |
|
|
· · · |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в (7.1) называется дифференциалом отображения f в точке x0 E и обозначается df(x0).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Замечание 1. Отображение f дифференцируемо в точке x0 E, если изменение его значений в окрестности исследуемой точки линейно с точностью до поправки бесконечно малой по сравнению с величиной x смещения от точки x0.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
7.2.Матрица Якоби.
Пусть задано отображение
f= (f1, f2, . . . , fk)T : E → Rk, E Rn
иx0 = x10, x20, . . . , xn0 !T E предельная точка множества E.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Теорема 123. Отображение
f = (f1, f2, . . . , fk)T : E → Rk, E Rn
дифференцируемо в точке x0 E предельной для множества E, тогда и только то-
гда, когда в этой точке дифференцируемы функции fi : E → R, (i = 1, 2, . . . , k), зада-
ющие координатное представление данного отображения.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство. Равенство (7.1) равносильно k равенствам:
fi(x0, x) = ai1 · x1 + ai2 · x2 + · · ·
· · · + ain · xn + o (Δx) , i = 1, 2, . . . , k, (7.2) при x → 0.
Каждое же из равенств (7.2) означает, в силу определения 152, дифференцируемость соответствующей координатной функции в точке x0. 
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Тогда, в силу теоремы 123 и формул (6.2), (7.1), для отображения
f = (f1, f2, . . . , fk)T : E → Rk, E Rn,
дифференцируемого во внутренней точке x E этого множества, можно выписать
координатное представление |
дифференциала |
df(x) в виде |
|
|
|
|
|
df1(x) |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) |
|
|
df |
|
|
df(x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) |
|
|
df |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
|
|
∂f |
1 |
(x) |
∂f |
1 |
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
∂x |
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂f |
2 |
(x) |
∂f |
2 |
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
∂x |
|
∂x |
|
|
|
|
|
df(x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂f |
k |
(x) |
∂f |
k |
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
∂x |
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· · · |
∂f1(x) |
∂xn |
· · · |
∂f2(x) |
∂xn |
... |
. |
· · · |
∂fk(x) |
∂xn |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
!
∂ f1,f2,...,fk
Определение 170. Матрица ∂(x1,x2,...,xn)(x) из
частных производных координатных функций данного отображения в точке x E называется матрицей Якоби отображения в этой точке, т.е.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂f |
1 |
(x) |
∂f |
1 |
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂f |
2 |
(x) |
∂f |
2 |
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ f |
1 |
, f |
2 |
, . . . , f |
k |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) := |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ x |
, x |
, . . . , x |
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂f |
k |
(x) |
∂f |
k |
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· · · |
∂f1(x) |
∂xn |
· · · |
∂f2(x) |
∂xn |
... |
. |
· · · |
∂fk(x) |
∂xn |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 133.
ражения
f(x, y) =
Построить матрицу Якоби отоб-
f1(x, y) |
xy ln(x + y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
2 |
(x, y) |
|
= |
|
x |
x |
|
|
f |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
(x, y) |
|
|
|
xy |
2 |
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Решение. По определению 170 имеем:
∂f1, f2, f3!(x, y) =
∂(x, y)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xy |
|
|
|
|
|
xy |
|
|
y ln(x + y) + |
|
|
x ln(x + y) + |
|
|
x+y |
x+y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
y |
1 |
|
|
|
|
y |
|
x |
y |
2 |
|
|
|
|
|
(y ln x + 1) |
x |
|
|
= |
x |
|
|
x |
− |
x |
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
2xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
