Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1312 вуза, 5265 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

mathanaliz

.pdf
Скачиваний:
12
Добавлен:
11.05.2015
Размер:
9.53 Mб
Скачать
☆

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f : D → R нужно:

•найти все стационарные точки функции f внутри области D;

•найти внутренние точки области D, в которых функция f недифференцируема;

•вычислить значения функции f в этих точках;

•найти наибольшее и наименьшее значения функции f на границе области D;

•из всех полученных таким образом значе-

ний выбрать наибольшее и наименьшее.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пример 132. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

f(x, y) = x3 + 3y2 − 3xy

в области

D := {(x, y) R2 | 0 ≤ x, 0 ≤ y, x + y ≤ 2}.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Решение. Нарисуем область D :

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

B

 

 

 

 

 

 

 

 

M0

 

 

 

 

 

 

 

 

0 O

x

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 6.4 Чер-

 

 

 

 

 

 

 

 

тёж области

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

• Стационарные точки функции f – O(0, 0) и

1

1

 

 

 

 

 

 

M0

2,

4

(см. пример 131).

 

 

 

 

• Функция f дифференцируемая в R2.

 

 

 

 

 

1

1

1

 

• Вычисляем f(0, 0) = 0, f

2,

4

= − 16.

 

 

 

 

•First •Prev

•Next •Last

•Go Back

•Full Screen

•Close •Quit

•Находим наибольшее и наименьшее значения функции f на границе области D :

–Вычисляем f(0, 2) = 12, f(2, 0) = 8.

–На границе OA : x = 0, 0 < y < 2, получаем f(0, y) = 3y2 = ϕ(y), 0 < y < 2. Функция ϕ монотонно возрастает на (0, 2), следовательно

min ϕ(y) = ϕ(0) = 0, max ϕ(y) = ϕ(2) = 12.

[0,2]

[0,2]

– На границе OB

: y = 0, 0 < x < 2, получаем f(x, 0) = x3 =

φ(x), 0 < x < 2. Функция φ монотонно возрастает на (0, 2), следовательно

min φ(x) = φ(0) = 0, max φ(x) = φ(2) = 8.

 

 

 

 

 

[0,2]

 

 

 

 

 

 

 

[0,2]

 

 

 

 

 

 

 

– На границе AB

: y = 2 − x, 0 < x < 2, получаем f(x, 2 − x) =

x3 +3(2−x)2 −3x(2−x) = x3 +6x2 −18x+12

= ψ(x), 0 < x < 2. Ищем

точки стационарности функции

ψ на (0, 2)

: ψ0(x) = 3x2+12x

−

18 =

0, x1 = −2 −

√

 

< 0 < x2

= √

 

 

− 2 < 2. Вычисляем ψ(√

 

− 2) =

10

10

10

√

 

 

3

 

 

√

 

 

2

 

√

 

 

 

 

√

 

.

 

 

10 − 2)

 

 

10 − 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

+ 6(

 

 

− 18( 10 − 2) + 12 = 64 − 20 10 = 0.75.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

•Итак, мы нашли следующие значения функции:

1

1

 

=

1

, f(0, 2) = 12,

f(0, 0) = 0, f

,

 

 

−

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

4

 

 

16

 

 

 

 

√

 

 

 

 

 

√

 

.

 

 

 

 

 

 

f(2, 0) = 8, f(

10 − 2, 4 − 10) = 0.75.

Сравнивая их, видим, что наибольшее значение функции f в области D равно 12, оно достигается в точке A(0, 2), а наименьшее

1

значение равно −

 

, оно достигается в

16

 

1

,

1

 

 

точке M0

2

4

.

 

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА Зачетная работа по дифференциальному исчислению.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Глава 7

Дифференциальное исчисление отображений

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

7.1. Дифференцируемость и дифференциал отображения в точке.

Пусть задано отображение

f= (f1, f2, . . . , fk)T : E → Rk, E Rn

иx0 = x10, x20, . . . , xn0 !T E предельная точка множества E. Дадим аргументу x прира-

щение

x = x1, x2, . . . , xn!T так чтобы

x0 +

x E.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Обозначим

f(x0, x) := f(x0 + x) − f(x0) =

 

 

f

1(x

,

x)

 

 

 

2

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x0,

x)

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

(x

,

x)

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и будем называть приращением отображения f в точке x0, вызванное приращением аргумента x.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Определение 169. Отображение f : E → Rk,

E Rn называется дифференцируемым в точке x0 E, предельной для множества E, если приращение f(x0, x) отображения f можно представить в виде

f(x0,

 

x) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

1(x

0

, x)

 

 

a1

a1

· · ·

a1

 

x

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1 2

 

n

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x0, x)

 

 

 

 

 

 

an

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

a1 a2

· · ·

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

.

 

 

=

 

 

 

. .

 

 

.

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

. .

 

·

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

k k

 

 

k

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x , x)

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

a a

· · ·

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

1

2

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ o (Δx) (7.1)

при x → 0, где aji R, i = 1, . . . , k,

j =

1, . . . , n.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen

•Close •Quit

 
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности