mathanaliz

6.10.1. Необходимые условия экстремума функции многих переменных.

точкой экстремума функции f.

Тогда, если в точке x0 существуют частные производные по каждой из переменных, то

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Доказательство. Фиксируем произвольное

i {1, 2, 3, . . . , n} и точку

xit = (x10, x20, . . . , xi0−1, xi0 + t, xi0+1, . . . , xn0 )T A.

Обозначим через ϕi(t) = f(xit).

Пусть x0 – точка максимума функции f.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Если же x0 – есть точка минимума, то доказательство аналогичное.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Определение 168. Внутренняя точка

x0 = (x10, x20, . . . , xn0 )T A

называется стационарной точкой функции f, если

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Из теоремы 120 следует, что точка экстремума функции f является либо её стационарной точкой либо в этой точке функция f не дифференцируема.

Замечание. Обратите внимание на то, что равенства (6.27) равносильны rf(x0) = 0 и дают лишь необходимые, но недостаточные условия экстремума функции многих переменных.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

ГРАДИЕНТ Вектор градиента rf отложен от точки M(a, b) контурного графика функции двух переменных f. Перемещая точку M(a, b) по контурному графику функции f Вы видите как изменяется величина и направление вектора rf.

В некоторых точках длина вектора rf очень мала и для того чтобы увидеть его направление в этих точках нажмите кнопку "normalize". При нажатой кнопке "normalize" от точки M(a, b) контурного графика функции f откладывается орт вектора rf.

Обратите внимание, что rf очень мал вблизи "вершин" и "на дне ям" (точки подозрительные на экстремум). При этом малые перемещения точки M(a, b) приводят к резкой смене направления вектора rf, часто на противоположное.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пример 130. Найти стационарные точки функции f(x, y) = xy и исследовать их характер.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Решение. Очевидно, что dom f = R2. Для всех точек (x, y) R2:

∂x∂ (xy) = y, ∂y∂ (xy) = x.

В силу теоремы 120, координаты стационарных точек удовлетворяют системе уравнений:

Единственным решением системы (6.28) является точка O(0, 0).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Покажем, что точка O(0, 0) не является точкой экстремума функции f.

Так как f(0, 0) = 0, а в любой сколь угодно малой окрестности точки O(0, 0) имеются точки, где f(x, y) = xy > 0, и точки, где f(x, y) = xy < 0, то точка O(0, 0) не является ни точкой максимума ни точкой минимума функции f.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

6.10.2. Достаточные условия экстремума функции многих переменных.

Пусть задана функция f : A → R, A Rn и x0 - внутренняя точка множества A.

Теорема 121. Пусть внутренняя точка

x0 = (x10, x20, . . . , xn0 )T A является стационарной точкой функции f : A → R, A Rn и

существует Uε(x0) такая, что все частные производные функции f до второго порядка включительно определены и непрерывны в Uε(x0) A.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit