Теорема 118. (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано). Пусть функция f : E → R, E Rm дифференцируема n раз во внутренней точке a E. Тогда при x, стремящемся к a, имеет место формула
|
n |
dkf(a) |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
f(x) = f(a) + |
|
|
|
|
+ o ( x a ) . |
X |
|
|
|
|
|
|
|
| − | |
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
k! |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
dx=x |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
(6.23) |
Доказательство этой теоремы в данном курсе
не рассматривается.
Равенство (6.23) представляет собой формулу Тейлора с остаточным в форме Пеано.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Теорема 119. (формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа). Пусть функция f : E −→ R, E Rm имеет (n + 1)- й дифференциал для любого x Uε(a) E, где ε - некоторое положительное число. Тогда для любой точки b Uε(a) существует точка c = a + θ (b − a), 0 < θ < 1, такая, что
|
n |
d kf(a) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(b) = f(a) + |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
k! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
dx=b |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d n+1f(c) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
. (6.24) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n + 1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx=b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство. Фиксируем точку b Uε(a).
Пусть g(t) = f (a + t(b − a)) . Функция g удовлетворяет условиям теоремы 85. Тогда по формуле Тейлора для функции одной переменной с остаточным членом в форме Лагранжа (теорема 85) имеем
g(1) = g(0) + |
g0(0) |
+ · · · + |
g(n)(0) |
+ |
g(n+1)(θ) |
, |
1! |
|
|
n! |
|
(n + 1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.25) |
где 0 < θ < 1.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Так как имеют место равенства
g(0) = f(a), g0(0) = df(a)|dx=b−a , . . . |
|
. . . g(n)(0) = d nf(a)|dx=b |
− |
a , |
(6.26) |
g |
(n+1) |
(θ) = d |
n+1 |
|
|
|
, |
|
|
|
f(c) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
dx=b |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то, подставляя (6.26) в (6.25), получим равен-
ство (6.24).
Равенство (6.24) представляет собой формулу Тейлора с остаточным в форме Лагранжа.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Замечание. Подчеркнём разницу в условиях существования формулы Тейлора с остаточными членами в форме Пеано и Лагранжа (теоремы 118 и 119). Она состоит в том, что в теореме 118 n-кратная дифференцируемость функции f предполагается только в точке x = a, в то время как в теореме 119 требуется (n + 1)-кратная дифференцируемость её в окрестности Uε(a). Обратим внимание на то, что в случаи функции одной переменной n-кратная дифференцируемость функции f в точке x = a обеспечивает (n − 1)-кратную дифференцируемость её в окрестности, в m-мерном же пространстве это условие обеспечивает лишь существование в окрестности только частных производных до (n − 1) порядка включительно.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
6.10.Экстремумы функций многих
переменных.
Пусть задана функция f : A → R, A Rn. Определение 163. Говорят, что внутренняя точка x0 A есть точка минимума (максимума) функ-
ции f, если Uε(x0) A такая, что x Uε(x0) выполняется неравенство f(x0) ≤ f(x) (f(x0) ≥ f(x)).
Если же x Uε (x0) выполняется строгое неравен-
ство f(x0) < f(x) (f(x0) > f(x)), то точка x0 A
называется точкой строгого минимума (строгого максимума) функции f.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 164. Внутренняя точка x0 A
называется точкой экстремума функции f, если она является точкой минимума или максимума.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 165. Внутренняя точка x0
A называется точкой строгого экстремума функции f, если она является точкой строгого минимума или строгого максимума.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 166. Значение функции f в точке минимума (максимума) называется минимумом (максимумом) функции f.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 167. Значение функции f в точке строгого минимума (строгого максимума) называется строгим минимумом (строгим максимумом) функции f.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
