Уравнение касательной плоскости
K : 4(x − 1) + 2(y − 1) − 8(z + 1) = 0
или
K: 2x + y − 4z − 7 = 0
иуравнение нормали
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N : |
|
x − 1 |
= |
y − 1 |
= |
|
z + 1 |
|
|
|
−8 |
|
или |
4 |
|
2 |
|
|
|
|
x − 1 |
|
|
y − 1 |
|
|
z + 1 |
|
|
|
N : |
|
= |
|
= |
. |
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
−4 |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
6.8.Частные производные высшего порядка.
Если функция f : E → R, E Rn имеет част-
∂f(x)
ную производную ∂xi по одной из переменных x1, x2, . . . , xn в каждой точке множества E, то эта частная производная вновь является функцией ∂x∂fi : E → R, которая тоже может иметь частную
|
|
|
|
|
∂ |
|
∂f(x) |
|
|
|
производную |
|
|
по переменной xj. Функ- |
|
|
∂xj |
∂xi |
|
|
∂ |
∂f |
|
|
|
|
|
|
|
ция |
: E → R |
называется |
второй произ- |
|
|
|
|
∂xj ∂xi |
|
водной от функции f по переменным xi, xj и
обозначается |
∂2f(x) |
, i, j = 1, 2, . . . , n. |
|
∂xj∂xi |
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Аналогично определяются частные производные более высокого порядка. Частные произ-
водные, в которые входит дифференцирование по различным переменным называются смешанными.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Теорема 116. Смешанные частные производные любого порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, непрерывные в ε- окрестности некоторой точки, равны в этой точке между собой.
Доказательство этой теоремы в данном курсе не рассматривается.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 159. Функция
f : E → R, E Rn
называется дважды дифференцируемой в точке x0 E, предельной для множества E, если все первые частные производные дифференцируемы в этой точке.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 160. Функция f : E → R, E
Rn называется k раз дифференцируемой в точке x0 E, предельной для множества E, если все частные производные (k−1)-го порядка являются функциями дифференцируемыми в этой точке.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Теорема 117. (достаточное условие дифференцируемости). Для того чтобы функция f : E → R, E Rn была k раз дифференцируема в точке, достаточно, чтобы все частные производные порядка k были непрерывны в этой точке.
Доказательство этой теоремы в данном курсе не рассматривается.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА Частные производные первого порядка, гра-
диент. Производные по направлению.Частные производные высших порядков.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
6.9. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора.
Пусть функция f : E → R, E Rm дважды дифференцируема в точке a E, предельной для множества E.
Определение 161. Выражение
|
2 |
m m ∂2f(x) |
|
j i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d f(a) = |
X X |
|
|
dx dx |
|
j i |
|
|
|
|
|
|
i=1 j=1 ∂x ∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x=a
называется вторым дифференциалом функции f в точке x = a.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Если функция f : E → R, E Rm k раз дифференцируема в точке a E, предельной для множества E, то
Определение 162. Выражение
k |
m |
m |
∂kf(x) |
|
|
j |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d f(a) = |
X |
X |
|
|
|
dx . . . dx |
|
j |
i |
|
|
|
|
|
|
i=1 |
· · · j=1 ∂x . . . ∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x=a
называется k-тым дифференциалом функции f в точке x = a.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
