Если f : D → (z0 − , z0 + Δ) задана неявно уравнением F (x, y, z) = 0 в области B, то
(x, y) D : F (x, y, f(x, y)) ≡ 0.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
6.7.5. Частные производные неявно заданной функции двух переменных.
Пусть задана поверхность S : F(x, y, z) = 0 и точка M0(x0, y0, z0) S. Рассмотрим некоторый прямоугольник
|
|
|
|
2 |
x0 |
− |
δ < x < x0 + δ, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D := |
(x, y) |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
0 |
|
δ < y < y |
0 |
+ δ |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и параллелепипед
|
|
R |
3 |
| |
(x, y) |
|
D, z0 |
− |
< z < z0 + |
|
|
|
|
B := (x, y, z) |
|
|
|
|
|
. |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Теорема 115. Пусть задана поверхность
S : F (x, y, z) = 0 и точка M0(x0, y0, z0) S. Если функция F определена и непрерывна
вместе со своими частными производными
∂F |
, |
∂F |
, |
∂F |
в некоторой Uε(M0) и |
∂F (M0) |
6= 0, |
∂x |
∂y |
∂z |
∂z |
то:
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
1. в некоторой |
области B Uε(M0) уравнение |
F(x, y, z) = 0 задаёт неявно функцию |
f : D → (z0 − |
, z0 + Δ); |
2.f(x0, y0) = z0;
3.на множестве D функция f непрерывна и
имеет непрерывные частные производные, причём
(x, y) D:
|
∂f(x, y) |
|
∂F(x,y,f(x,y)) |
|
= − |
∂x |
|
|
|
∂x |
∂F(x,y,f(x,y)) |
|
|
|
∂z |
|
∂f(x, y) |
|
∂F(x,y,f(x,y)) |
|
= − |
∂y |
, |
|
|
|
. |
|
∂y |
∂F(x,y,f(x,y)) |
|
|
|
|
∂z |
Доказательство теоремы в данном курсе не рассматривается.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
6.7.6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Пусть задана поверхность S : F(x, y, z) = 0 и точка M0(x0, y0, z0) S. Обозначим прямоугольник
|
|
|
|
2 |
x0 |
− |
δ < x < x0 + δ, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D := |
(x, y) |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
0 |
|
δ < y < y |
0 |
+ δ |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и параллелепипед
|
|
R |
3 |
| |
(x, y) |
|
D, z0 |
− |
< z < z0 + |
|
|
|
|
B := (x, y, z) |
|
|
|
|
|
. |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
∂F∂x , ∂F∂y , ∂F∂z
Пусть в некоторой Uε(M0) существуют непрерывные частные производные и
∂F (M0) 6= 0. ∂z
Тогда, в силу теоремы 115, в параллелепипеде B Uε(M0) уравнение F (x, y, z) = 0 задаёт неявно функцию f : D → (z0 − , z0 + Δ), к графику которой можно провести касательную плоскость в точке M0
πê : z − f(x0, y0) = |
|
|
= |
∂f(x0, y0) |
(y − y0) + |
∂f(x0, y0) |
(x − x0). |
|
∂y |
∂x |
|
|
|
|
|
(6.22) |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Учитывая пункты 2 и 3 теоремы 115, уравнение (6.22) касательной плоскости к поверхно-
сти S : F (x, y, z) = 0 в точке M0(x0, y0, z0) S
можно записать в виде
πê : |
∂F (M0) |
(x − x0) + |
∂F (M0) |
(y − y0) + |
∂F (M0) |
(z − z0) = 0. |
∂x |
∂y |
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда геометрический вектор
∂F (M0) ∂F (M0) ∂F (M0) |
|
πê |
~n = |
|
, |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
∂y |
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(нормальный вектор плоскости πê).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Канонические уравнения нормали N к поверхности S в точке M0(x0, y0, z0) S имеют вид
|
|
|
|
|
|
|
N : |
x − x0 |
= |
y − y0 |
= |
z − z0 |
. |
|
∂F (M0) |
|
∂F (M0) |
|
∂F (M0) |
|
∂x |
|
∂y |
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 129. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
S: F (x, y, z) = 2x2 + y2 + 4z2 − 7 = 0
вточке M0(1, 1, −1) S.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Решение. dom F = R3. Найдём частные производные
|
∂F (x, y, z) |
= 4x, |
∂F (1, 1, −1) |
= 4, |
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
∂F (x, y, z) |
= 2y, |
∂F (1, 1, −1) |
= 2, |
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
∂F (x, y, z) |
= 8z, |
∂F (1, 1, −1) |
= |
8. |
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
− |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
