Теорема 114. Пусть:
1. функция F определена и непрерывна
вместе со своими частными производными ∂F∂x , ∂F∂y в некоторой Uε(M0), где M0(x0, y0);
2. F (x0, y0) = 0;
3. ∂F (M0) 6= 0; ∂y
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Тогда:
4. в некотором прямоугольнике D Uε(M0) уравнение F (x, y) = 0 задаёт неявно функцию f : (x0 − δ, x0 + δ) → (y0 − , y0 + Δ);
5.f(x0) = y0;
6.функция f непрерывно дифференцируема
на интервале (x0 − δ, x0 + δ), причём
|
|
|
|
|
|
|
+ δ) : f0(x) = |
|
∂F (x,f(x)) |
|
|
x |
(x |
0 |
− |
δ, x |
0 |
− |
∂x |
. |
|
∂F (x,f(x)) |
|
|
|
|
|
|
∂y
Доказательство теоремы в данном курсе не рассматривается.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
6.7.3. Касательная и нормаль к плоской кривой.
Пусть задана кривая L : F (x, y) = 0. Обозначим через
D := (x, y) R
где M0(x0, y0) L.
|
x0 |
− |
δ < x < x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< y < y |
|
y |
0 |
− |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пусть в некоторой Uε(M0) существуют непрерывные частные производные ∂F∂x , ∂F∂y и
∂F (M0) 6= 0. Тогда, в силу теоремы 114, в пря-
∂y
моугольнике D Uε(M0) уравнение F (x, y) = 0 задаёт неявно функцию
f : (x0 − δ, x0 + δ) → (y0 − , y0 + Δ),
к графику которой можно провести касательную в точке M0
K : y − f(x0) = f0(x0)(x − x0). |
(6.21) |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Учитывая пункты 5 и 6 теоремы 114, уравнение (6.21) касательной к кривой L : F (x, y) = 0 в точке M0(x0, y0) L можно записать в виде
K : |
∂F (M0) |
(x − x0) + |
∂F (M0) |
(y − y0) = 0. |
∂x |
∂y |
|
|
|
|
|
Тогда геометрический вектор
∂F (M0) ∂F (M0) |
|
K |
~n = |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(нормальный вектор прямой K).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Каноническое уравнение нормали N к кривой L в точке M0(x0, y0) L имеет вид
N : x − x0 = y − y0 .
∂F (M0) ∂F (M0) ∂x ∂y
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 128. Написать уравнения касательной и нормали к кривой
L: F (x, y) = x3 + y4 − 3xy − 3 = 0
вточке M0(2, 1) L.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Решение. dom F = R2. Найдём частные производные
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂F (x, y) |
|
∂F (2, 1) |
|
|
|
= 3x2 − 3y, |
|
|
|
= 9, |
|
∂x |
|
∂x |
|
∂F (x, y) |
= 4y3 − 3x, |
∂F (2, 1) |
= −2. |
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
∂y |
Уравнение касательной
K: 9(x − 2) − 2(y − 1) = 0
иуравнение нормали
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
6.7.4. Неявно заданные функции двух переменных.
Пусть задана поверхность S : F (x, y, z) = 0 и точка M0(x0, y0, z0) S. Рассмотрим некоторый прямо-
и параллелепипед
|
|
R |
3 |
| |
(x, y) |
|
D, z0 |
− |
< z < z0 + |
|
|
|
|
B := (x, y, z) |
|
|
|
|
|
. |
Часть поверхности S, попавшую в параллелепипед B, обозначим через SB.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Если поверхность SB удовлетворяет условию, что всякая прямая параллельная оси Oz пересекает поверхность SB не более чем в одной точке, то поверхность SB является графиком некоторой функции
f : D → (z0 − , z0 + Δ),
которая называется функцией неявно заданной уравнением F (x, y, z) = 0 в области B.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
