mathanaliz

6.6.2. Геометрический смысл дифференциала функции двух

переменных.

Пусть задана функция f : E → R, E R2 и M0(x0, y0) внутренняя точка множества E.

Тогда точка N0 (x0, y0, f(x0, y0)) лежит на поверхности S := graff.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Если функция f дифференцируема во внутренней точке M0(x0, y0) E, то

при (x, y) → (x0, y0). (6.19)

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Сравнивая равенства (6.19) и (6.15), видим, что:

•график нашей функции вблизи точки

N0 (x0, y0, f(x0, y0)) хорошо аппроксимируется касательной плоскостью (6.15);

•дифференциал df(x0, y0) функции f в точке M0(x0, y0) E геометрически обозначает приращение аппликаты касательной плоскости к поверхности, являющейся графи-

ком функции, в точке N0 (x0, y0, f(x0, y0)) при переходе из точки M0(x0, y0) E в точку M(x, y) E.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

6.7.Неявно заданные функции.

Вэтом разделе излагается ещё один способ задания функции.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

6.7.1. Неявно заданные функции одной переменной.

Пусть задана кривая L : F (x, y) = 0. Рассмот-

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

y0 −y1 L

Рис. 6.3 Неявно заданная функция одной переменной

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Обозначим через LD := L ∩D часть кривой L, попавшую в D. Если LD удовлетворяет условию, что всякая прямая параллельная оси Oy пересекает LD не более чем в одной точке, то LD есть график некоторой функции

f : (x0 − δ, x0 + δ) → (y0 − , y0 + Δ),

которая называется функцией неявно заданной уравнением F (x, y) = 0 в области D.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Если же LD удовлетворяет условию, что всякая прямая параллельная оси Ox пересекает LD не более чем в одной точке, то LD есть график некоторой функции

g : (y0 − , y0 + Δ) → (x0 − δ, x0 + δ),

которая тоже называется функцией неявно заданной уравнением F (x, y) = 0 в области

D.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Если f : (x0 −δ, x0 +δ) → (y0 − , y0 +Δ) задана неявно уравнением F (x, y) = 0 в области D, то

x (x0 − δ, x0 + δ) : F (x, f(x)) ≡ 0. (6.20)

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

6.7.2. Производная неявно заданной функции одной переменной.

Пусть задана кривая L : F (x, y) = 0. Рассмотрим некоторый прямоугольник

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit