Опустим из точки Nn перпендикуляр NnKn на плоскость (6.15) и перпендикуляры NnMn и N0M0 на координатную плоскость xOy. Пусть
N (x0 + xn, y0 + yn, zn) |
|
π |
k |
– точка пе- |
n |
|
|
ресечения перпендикуляра NnMn с плоскостью (6.15) (см. рис. 6.2). Очевидно, что
|
|
|
|
|NnKn| ≤ |NnNn| |
|
|
|
(6.16) |
|
|
|
|
|N0Nn| ≥ |M0Mn|. |
|
|
|
|
Тогда ϕn = KnN0Nn и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
NnKn |
|
(6.16) |
NnN |
|
|
|
| |
sin ϕ |
n| |
= |
| |
|
| |
< |
| |
n |
| |
. |
(6.17) |
|
|
|N0Nn| |
|
|M0Mn| |
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit |
Проведём вспомогательные вычисления:
|
|
|
M M |
|
|
v |
|
2 |
+ (Δy ) |
2 |
= ρ ; |
|
|
| |
|
| |
= u(Δx ) |
|
|
|
|
0 n |
t |
n |
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
→ 0) = |
(Nn → N0) = (Δxn → 0, yn |
NnNn |
|
= f(x0 + xn, y0 + yn) |
(ρn → 0); |
| |
− |
zN |
| |
= |
| |
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
= |f(x0 + xn, y0 + yn) − f(x0, y0) −
− fx0 (x0, y0)Δxn − fy0(x0, y0)Δyn| = = | f((x0, y0); (Δxn, yn)) − fx0 (x0, y0)Δxn−
− fy0(x0, y0)Δyn|
(6.18)
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
|NnNn|
Так функция f дифференцируема в точке M0(x0, y0), то, в силу (6.18), последовательность |NnNn| будет бесконечно малой последовательностью более высокого порядка, чем ρn, т.е.
lim |M0Mn| = 0.
Тогда, в силу (6.17),
lim | sin ϕn| = 0.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Теорема 113. Пусть задана функция
f : E → R, E R2 и M0(x0, y0) внутренняя точка множества E.
Если в точке N0 (x0, y0, f(x0, y0)) graff можно провести касательную плоскость, то
функция f дифференцируема во внутренней точке M0(x0, y0) E.
Доказательство теоремы опустим.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
По виду уравнения (6.15) касательной плоскости к поверхности S, являющейся графиком функции f, в точке N0 S, легко написать канонические уравнения нормали в точке
N0 (x0, y0, f(x0, y0)):
x − x0 |
= |
y − y0 |
= |
z − f(x0, y0) |
. |
∂f(x0,y0) |
|
∂f(x0,y0) |
|
−1 |
∂x |
|
∂y |
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ 
Поверхности – графики всюду дифференцируемых квадратичных функций двух переменных. Выбор точки на поверхности производится движками "x0" и "y0".
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 127. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к графику функции
s
f(x, y) = 25 − x2 − y2
√
в точке N0(2, 3, 2 3).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Решение. dom f = {(x, y) R2 | x2 + y2 ≤ 25}.
Найдём частные производные
∂f |
= − |
|
x |
|
∂f |
= − |
|
y |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
. |
|
s |
|
|
|
s |
|
|
∂x |
25 − x2 − y2 |
|
∂y |
25 − x2 − y2 |
Так как M0(2, 3) dom ∂f∂x и M0(2, 3) dom ∂f∂y ,
то частные производные ∂f∂x и ∂f∂y непрерывны
в точке M0(x0, y0) и в некоторой её окрестности. Тогда, в силу теоремы 110, функция f дифференцируема в точке M0(2, 3), т.е. данная поверхность имеет в точке N0 касательную плоскость и нормаль (см. теорему 112).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение касательной плоскости |
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
πk : z − 2 |
3 = − |
(x − 2) − |
(y − 3), |
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
канонические уравнения нормали: |
|
|
x − 2 |
= y − 3 |
|
√ |
|
|
|
|
= z − 2 3. |
|
|
|
√ |
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
