6.6.Касательная плоскость и нормаль к
поверхности.
Пусть N0 - некоторая точка данной поверхности S (см. рис. 6.1). Возьмём на этой поверхности любую другую точку N, отличную от
точки N0.
Определение 156. Прямая, проходящая через точки N0, N S, N 6= N0, называется секущей поверхности S.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 157. Плоскость, проходящая через точку N0 S, называется касательной плоскостью к поверхности S в точке
N0, если для каждой последовательности точек (Nn, n N) , Nn S, сходящейся к точке N0 S, угол между секущей N0Nn и этой плоскостью стремится к нулю.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Из определения 157 и определения 118 касательной к кривой следует, что касательная плоскость, проходящая через точку N0 S, содержит касательные ко всем кривым, проходящим через точку N0 S и лежащим на поверхности S.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Из определения 157 следует, что у поверхности в данной точке либо есть и тогда только одна касательная плоскость, либо её нет совсем.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 158. Прямая, проходящая через точку N0 S и ортогональная касательной плоскости к поверхности S в точке N0, называется нормалью к поверхности S в точке
N0.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОР-
МАЛЬ 
На иллюстрации показаны касательная плос-
кость и нормаль |
в фиксированной |
точке |
N0 (x0, y0, f(x0, y0)) |
graf f. Точку N0 |
мож- |
но перемещать на поверхности движками "x" и "y". На иллюстрации изображены также линии пересечения поверхности с плоскостями x = x0 и y = y0.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
6.6.1. Касательная плоскость и нормаль к графику функции двух переменных.
Пусть задана функция f : E → R, E R2 и M0(x0, y0) внутренняя точка множества E.
Тогда точка N0 (x0, y0, f(x0, y0)) лежит на поверхности S := graff.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Теорема 112. Если функция f дифференцируема во внутренней точке M0(x0, y0) E,
то в точке N0 (x0, y0, f(x0, y0)) graff можно провести касательную плоскость πê, при-
чём уравнение этой касательной плоскости имеет вид
πê : z − f(x0, y0) = |
|
|
= |
∂f(x0, y0) |
(x − x0) + |
∂f(x0, y0) |
(y − y0). |
|
∂x |
∂y |
|
|
|
|
|
(6.15) |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство. Фиксируем |
произвольную |
последовательность |
|
(Nn), Nn graff и Nn → N0, N0 graff. |
Обозначим через ϕn угол |
между секущей |
N0Nn и плоскостью (6.15). Покажем, что sin ϕn → 0, что равносильно, ϕn → 0. Этим будет доказано, что плоскость (6.15), в силу определения 157, является касательной к graff в точке N0
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
