Пример 126. Найти градиент и производную
~ |
π |
по направлению ~a = 2~ı−~|+k в точке M0(0, 1, |
4 ) |
функции f(x, y, z) = sin (xy2 + z). |
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Решение. Очевидно, что domf = R3. Найдём сначала частные производные функции f в произвольной точке domf.
∂f(x,y,z)
∂x = ?
При вычислении частной производной по x вычисляем обычную производную по переменной x, при этом с остальными переменными обращаемся как с константами.
Пометим цветными прямоугольниками константы формулы, задающей функцию f. Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 126 Найти градиент |
и производ- |
ную по направлению ~a = 2~ı − |
~ |
в точке |
~| + k |
M0(0, 1, π4 ) функции f(x, y) = sin3 (xy2 + z).
Решение. Очевидно, что domf = R3. Найдём сначала частные производные функции f в произвольной точке domf.
∂f(x,y,z) |
|
∂ |
( sin3 |
( xy2 |
95 |
|
= |
+ |
z |
) ) = |
∂x |
∂x |
= 3 sin2 (xy2 + z) cos (xy2 + z) ( xy2+ z)0x
Используем два правила:
1.производная от суммы равна сумме производных;
2.константа выносится за знак производной.
В результате получим:
Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 126 Найти градиент |
и производ- |
ную по направлению ~a = 2~ı − |
~ |
в точке |
~| + k |
M0(0, 1, π4 ) функции f(x, y) = sin3 (xy2 + z).
Решение. Очевидно, что domf = R3. Найдём сначала частные производные функции f в произвольной точке domf.
∂f(x,y,z) |
|
∂ |
( sin3 ( xy2 |
|
95 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
+ |
z |
) ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
)x0 = |
= 3 sin2 (xy2 + z) cos (xy2 |
+ z) ( xy2 |
+ |
z |
|
= 3 sin2 (xy2 + z) cos (xy2 |
+ z) ( |
y2 |
(x)x0 + |
z |
x0 ) |
|
|
Запишем конечный результат: Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 126 Найти градиент |
и производ- |
ную по направлению ~a = 2~ı − |
~ |
в точке |
~| + k |
M0(0, 1, π4 ) функции f(x, y) = sin3 (xy2 + z).
Решение. Очевидно, что domf = R3. Найдём сначала частные производные функции f в произвольной точке domf.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂f(x,y,z) |
|
∂ |
( sin3 ( xy2 |
|
95 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
+ |
z |
) ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
)x0 = |
= 3 sin2 |
(xy2 |
+ z) cos (xy2 |
+ z) ( xy2 |
+ |
z |
|
= 3 sin2 |
(xy2 |
+ z) cos (xy2 |
+ z) ( |
|
(x)x0 + |
z |
x0 ) = |
y2 |
= 3 sin2 |
(xy2 |
+ z) cos (xy2 |
+ z) y2 · 1 + 0! |
Аналогично находим частные производные по переменным y и z.
Найдите самостоятельно и только потом · · ·
Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 126 Найти градиент и производную по направлению
~ |
π |
3 |
(xy |
2 |
+ z). |
~a = 2~ı−~|+k в точке M0(0,1, |
4) функции f(x,y) = sin |
|
|
Решение. Очевидно, что domf = R3. Найдём сначала частные производные функции f в произвольной точке domf.
|
∂f(x,y,z) |
= |
∂ |
( sin3 ( xy2 |
+ |
|
z |
) ) = 3 sin2 (xy2 + z) cos (xy2 + z) · y2 |
|
∂x |
|
|
∂x |
|
|
|
|
∂f(x,y,z) |
= |
∂ |
( sin3 ( |
xy2+ |
z |
) ) = 3 sin2 (xy2 + z) cos (xy2 + z) · 2xy |
|
∂y |
∂y |
|
|
|
|
∂f(x,y,z) |
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
( sin3 ( |
xy2 |
+z ) ) = 3 sin2 (xy2 + z) cos (xy2 + z) · 1. |
|
∂z |
∂z |
|
|
Вычислите значения частных производных в заданной точке M0(0,−1, π4) и только потом ···
Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 126 Найти градиент и производную по на- |
~ |
в точке M0(0, 1, |
π |
правлению ~a = 2~ı − ~| + k |
4 ) функции |
f(x, y) = sin3 (xy2 + z). |
|
|
Решение. Очевидно, что domf = R3. Найдём сначала частные производные функции f в произвольной точке domf, а потом в точке M0.
∂f(x,y,z)
∂x |
|
= 3 sin2 (xy2 + z) cos (xy2 + z) · y2 |
|
|
|
|
∂f(M0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
2 √ |
|
|
|
3√ |
|
|
|
|
|
|
2 π |
π |
|
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|
∂x |
= 3 |
· |
sin |
4 cos |
4 |
· |
1 = 3 |
|
|
|
· |
|
· |
1 = |
4 |
|
, |
2 |
2 |
∂f(x,y,z) |
|
|
|
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 3 sin2 (xy2 + z) cos (xy2 + z) · 2xy |
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
∂f(M0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
2 √ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 π |
π |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
∂y |
= 3 |
· |
sin |
4 cos |
4 |
· |
0 = 3 |
|
|
|
· |
|
· |
0 = 0, |
|
|
2 |
2 |
|
|
∂f(x,y,z) |
|
|
|
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 3 sin2 (xy2 + z) cos (xy2 + z) · 1. |
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
∂f(M0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
2 √ |
|
|
|
3√ |
|
|
|
|
|
|
2 π |
π |
|
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|
∂z |
= 3 |
· |
sin |
4 cos |
4 |
· |
1 = 3 |
|
|
|
· |
|
· |
1 = |
4 |
|
. |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Запишите координаты градиента функции в данной точке M0(0, −1, π4 ) и только потом · · ·
Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 126 Найти градиент и производную по на-
~ |
в точке |
M0(0, 1, |
π |
функции |
правлению ~a = 2~ı − ~| + k |
4 ) |
f(x, y) = sin3 (xy2 + z). |
|
|
|
|
Решение. Очевидно, что domf = R3. Найдём сначала частные производные функции f в произвольной точке
domf, а потом вычислим их значения в данной точке. |
|
∂f(M |
) |
√ |
∂f(M |
) |
= 0, |
∂f(M |
) |
|
√ |
|
0 |
|
= 3 2, |
∂y |
0 |
|
|
0 |
|
|
= 3 2. |
|
|
|
∂x |
|
4 |
|
|
|
|
∂z |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3√ |
|
3√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
f(M |
) = |
|
|
|
, 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдите координаты орта вектора |
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
и только потом · · · |
|
~a = 2~ı − ~| + k = (2, −1, 1) |
|
Перейдите на следующую страницу. |
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 126 Найти градиент и производную по на-
~ |
в точке |
M0(0, 1, |
π |
функции |
правлению ~a = 2~ı − ~| + k |
4 ) |
f(x, y) = sin3 (xy2 + z). |
|
|
|
|
Решение. Очевидно, что domf = R3. Найдём сначала частные производные функции f в произвольной точке
domf, а потом вычислим их значения в данной точке. |
∂f(M |
) |
|
√ |
, |
∂f(M |
) |
= 0, |
∂f(M |
) |
|
|
√ |
|
|
|
|
0 |
|
= 3 2 |
0 |
|
|
∂z |
0 |
|
= 3 2. |
|
|
|
∂x |
|
|
4 |
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
3√ |
|
, 0, 3√ |
|
, a~0 |
= |
|
|
|
−1, |
1 |
|
|
f(M0) = |
2 |
2 |
2 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
4 |
4 |
|
|
|
√6 |
|
√6 |
√6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдите производную функции f в точке M0 по на-
~ |
и только |
правлению вектора ~a = 2~ı − ~| + k = (2, −1, 1) |
потом · · · |
|
Перейдите на следующую страницу. |
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 126 Найти градиент |
и производ- |
ную по направлению ~a = 2~ı − |
~ |
в точке |
~| + k |
M0(0, 1, π4 ) функции f(x, y) = sin3 (xy2 + z).
Решение. Очевидно, что domf = R3. Най-
дём |
сначала частные |
производные |
функ- |
ции |
f в произвольной |
точке domf, |
а по- |
том вычислим их значения в данной точке. |
∂f(M |
) |
√ |
, |
∂f(M |
) |
= 0, |
∂f(M |
) |
√ |
0 |
|
= 3 2 |
0 |
|
0 |
|
= 3 2. |
∂x |
|
4 |
|
∂y |
|
|
∂z |
|
4 |
|
|
3√ |
|
|
3√ |
|
|
|
|
r |
2 |
2 |
|
|
|
4 , 0, |
4 |
|
|
, a~0 |
= |
|
f(M0) = |
|
|
По формуле (6.13) находим
|
|
√ |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂f(M0) |
= |
3 2 |
2 |
|
+ 0 |
1 |
|
∂~a |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· √6 |
· √6 |
|
2 |
, |
−1 |
, |
1 |
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
√6 |
|
√ |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
3 |
3 |
+ |
|
|
|
|
|
|
· |
√ |
|
|
= |
|
|
. |
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
6 |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
