mathanaliz

ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ Щелкните мышкой по кнопке

"show gradient rf".

Единичный вектор u задаёт направление на плоскости. Это направление можно изменить мышкой с нажатой левой кнопкой.

Мышкой с нажатой левой кнопкой выберите на планшете "point=(,)" точку, в которой будет вычислена производная по направлению u (см. справа от планшета).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Определение 155. Геометрический вектор

называется градиентом функции f в точке

M0.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Тогда, для дифференцируемой во внутренней точке M0 функции f, имеем

∂f(M0) = (a~0, rf(M0)) = ∂~a

= |rf(M0)| cos (a~0 rf(M0)), (6.13)

где a~0 орт вектора ~a.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Заметим, что ∂f(M0) определяет скорость из-

∂~a

менения функции f по направлению ~a. Из (6.13) следует, что геометрический вектор rf(M0) указывает направление, в котором наибольшая скорость изменения функции f в точке M0.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

ГРАДИЕНТ Единичный вектор u задаёт направление на плоскости. Это направление можно изменить мышкой с нажатой левой кнопкой.

Мышкой с нажатой левой кнопкой выберите на планшете "point=(,)" точку, в которой будет вычислена производная по направлению u (см. справа от планшета). В этой же точке считается градиент функции и его модуль.

Фиксируя точку изменяйте направление вектора u и следите за значениями производной по направлению.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

ГРАДИЕНТ

Вектор градиента rf отложен от точки M(a, b) контурного графика функции двух переменных f. Перемещая точку M(a, b) по контурному графику функции f Вы видите как изменяется величина и направление вектора rf.

В некоторых точках длина вектора rf очень мала и для того чтобы увидеть его направление в этих точках нажмите кнопку "normalize". При нажатой кнопке "normalize" от точки M(a, b) контурного графика функции f откладывается орт вектора rf.

Обратите внимание, что rf очень мал вблизи "вершин" и "на дне ям". При этом малые перемещения точки M(a, b) приводят к резкой смене направления вектора rf, часто на противоположное.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пример 124. Найти производную по направлению ~ı = (1, 0) в точке M0(0, 0) функции

s

f(x, y) = + x2 + y2.

Решение. Очевидно, что domf = R2. Возьмём произвольную точку Mt(t, 0) R2, t > 0 и найдём

Итак, по определению 154, ∂f(M0) = 1.

∂~ı

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

то из (6.14) следует, что ∂f(M0) не существует,

∂x

а, следовательно, в силу теоремы 109, функ-

s

ция f(x, y) = + x2 + y2 не дифференцируемая в точке M0(0, 0) и значит для вычисления

∂f(M0) нельзя использовать формулу (6.13).

∂~ı

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пример 125. Найти градиент и производную по направлению ~a = 2~ı + ~| в точке M0(−1, 2) функции f(x, y) = 5x2y3.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Решение. Найдём сначала rf(M0) :

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit